cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . tính góc giữa các cặp vecto sau , vecto AD và vecto B'C' , vecto AC và A'D'

Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \). Ta cần tính góc giữa các cặp vector sau:

1. **Vector \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{B'C'} \):**

Giả sử hình lập phương có cạnh \( a \), các tọa độ của các đỉnh có thể được giả định như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

- Vector \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{C'} - \overrightarrow{B'} = (a, a, a) - (a, 0, a) = (0, a, 0) \)

Từ đó, ta thấy:
- \( \overrightarrow{AD} = (0, a, 0) \)
- \( \overrightarrow{B'C'} = (0, a, 0) \)

Hai vector này song song nên góc giữa chúng là \( 0^\circ \).

2. **Vector \( \overrightarrow{AC} \) và \( \overrightarrow{A'D'} \):**

- Vector \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{D'} - \overrightarrow{A'} = (0, a, a) - (0, 0, a) = (0, a, 0) \)

Để tính góc giữa hai vector, ta dùng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}
\]

- \( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) \)
- \( \overrightarrow{A'D'} = (0, a, 0) \)

Tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A'D'} = a \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2
\]

Độ dài của hai vector:
\[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2}a
\]
\[
|\overrightarrow{A'D'}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a
\]

Góc giữa hai vector:
\[
\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{2}a \cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Suy ra \( \theta = 45^\circ \).

**Kết luận:**
- Góc giữa \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{B'C'} \) là \( 0^\circ \).
- Góc giữa \( \overrightarrow{AC} \) và \( \overrightarrow{A'D'} \) là \( 45^\circ \).

Bạn có muốn chi tiết thêm về cách tính hoặc có thắc mắc gì không? Dưới đây là một số câu hỏi mở rộng liên quan:

1. Làm thế nào để xác định tọa độ các đỉnh của một hình lập phương trong không gian?
2. Công thức tính góc giữa hai vector có áp dụng được cho mọi loại hình học không?
3. Khi nào thì hai vector vuông góc với nhau?
4. Tại sao tích vô hướng lại giúp tính góc giữa hai vector?
5. Làm thế nào để chứng minh hai vector là song song?

**Mẹo:** Khi tính góc giữa hai vector, nếu tích vô hướng của chúng bằng 0, thì hai vector đó vuông góc.

Learn how to calculate the angle between vectors AD and B'C' in a cube (ABCD.A'B'C'D'). This problem involves vector operations and geometric concepts in 3D space. Detailed solution with step-by-step calculations provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation