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Quando temos uma função composta, devemos aplicar a regra da cadeia para realizar a derivação

Para calcular a derivada da função \( f(x) = e^{\sin(x)} \), devemos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta. Nesse caso, temos uma função exponencial onde o expoente é uma função de \( x \).

A regra da cadeia é dada por:

\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Para \( f(x) = e^{\sin(x)} \), podemos identificar duas funções:
- \( u(x) = \sin(x) \)
- \( f(u) = e^u \)

Primeiro, derivamos \( f(u) = e^u \) em relação a \( u \):

\[ \frac{d}{du} e^u = e^u \]

Depois, derivamos \( u(x) = \sin(x) \) em relação a \( x \):

\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \]

Aplicando a regra da cadeia, temos:

\[ \frac{d}{dx} e^{\sin(x)} = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \]

Portanto, a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \) é:

\[ f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \]

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição. Aqui estão algumas perguntas que você pode querer explorar:

1. Como integrar \( f(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \)?
2. Qual é o comportamento de \( f(x) = e^{\sin(x)} \) para \( x \to \infty \)?
3. Como calcular a segunda derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \)?
4. Quais são os pontos críticos da função \( f(x) = e^{\sin(x)} \)?
5. Como encontrar o valor máximo ou mínimo de \( f(x) = e^{\sin(x)} \)?

**Dica:** Ao usar a regra da cadeia, sempre identifique claramente as funções interna e externa para facilitar a derivação.

Learn how to apply the chain rule to find the derivative of the function f(x) = e^(sin(x)). This detailed explanation covers the steps involved in using the chain rule for composite functions, focusing on an example involving an exponential function with a trigonometric function as its exponent.

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