hallar los puntos de interseccion y realizar el bosquejo de los resultados

Para encontrar los puntos de intersección de la parábola \( y = 3 - x - 3x^2 \) con los ejes y realizar el bosquejo, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Intersección con el eje y

La intersección con el eje y ocurre cuando \( x = 0 \). Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación:

\[
y = 3 - (0) - 3(0)^2 = 3
\]

Por lo tanto, la parábola intersecta el eje y en el punto \( (0, 3) \).

### Paso 2: Intersección con el eje x

La intersección con el eje x ocurre cuando \( y = 0 \). Para encontrar estos puntos, resolvemos la ecuación cuadrática:

\[
0 = 3 - x - 3x^2
\]

Reordenamos la ecuación:

\[
3x^2 + x - 3 = 0
\]

Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \( a = 3 \), \( b = 1 \), y \( c = -3 \).

Calculamos:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)}
\]

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 36}}{6}
\]

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{6}
\]

Por lo tanto, los puntos de intersección con el eje x son:

\[
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{6}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{6}
\]

Estos son los valores de \( x \) donde la parábola intersecta el eje x.

### Paso 3: Bosquejo de la parábola

1. **Vértice**: El vértice ya lo encontramos previamente en \( \left( -\frac{1}{6}, \frac{37}{12} \right) \).
2. **Intersección con el eje y**: \( (0, 3) \).
3. **Intersecciones con el eje x**: 
   - \( \left(\frac{-1 + \sqrt{37}}{6}, 0\right) \)
   - \( \left(\frac{-1 - \sqrt{37}}{6}, 0\right) \).

### Bosquejo
- La parábola es descendente (abre hacia abajo).
- El vértice está en \( \left(-\frac{1}{6}, \frac{37}{12}\right) \).
- Corta el eje y en \( (0, 3) \).
- Corta el eje x en los puntos \( \left(\frac{-1 + \sqrt{37}}{6}, 0\right) \) y \( \left(\frac{-1 - \sqrt{37}}{6}, 0\right) \).

Este es el comportamiento general de la parábola.

### Representación gráfica

Para bosquejar, colocamos los puntos de intersección con los ejes y el vértice en un plano cartesiano, dibujando una parábola que pasa por estos puntos y se abre hacia abajo.

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¿Quieres detalles adicionales o alguna explicación más específica?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática?
2. ¿Qué indica el discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \) sobre las soluciones de la ecuación cuadrática?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( c \) en la intersección con el eje y?
4. ¿Qué representa el vértice en la gráfica de una parábola?
5. ¿Cómo verificar las soluciones de una ecuación cuadrática usando factorización?

### Tip:
Siempre que resuelvas una ecuación cuadrática, verifica el signo del discriminante para saber si las soluciones son reales, imaginarias, o si hay una sola solución (si es un vértice).

Discover how to find intersection points and sketch the results of a quadratic equation, specifically analyzing the parabola y = 3 - x - 3x^2. This detailed solution covers finding intersections with the y-axis, solving for x-intercepts using the quadratic formula, and sketching the graph. Ideal for advanced high school students.

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