7-10) Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices.
7. y = 2x² + 3x - 1
8. y = 4x - x²
9. y = 3 - x - 3x²
10. y = 4x² + 16x + 4

el numero 9 por favor



Para bosquejar la parábola dada por la ecuación \( y = 3 - x - 3x^2 \), y determinar su vértice, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Reordenar la ecuación
La ecuación dada es:

\[
y = 3 - x - 3x^2
\]

Reorganizamos los términos para escribirla en la forma estándar de una parábola \( y = ax^2 + bx + c \):

\[
y = -3x^2 - x + 3
\]

### Paso 2: Identificar los coeficientes
Comparando con la forma estándar \( y = ax^2 + bx + c \), identificamos los coeficientes:
- \( a = -3 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = 3 \)

### Paso 3: Calcular el vértice
El vértice de una parábola en la forma \( y = ax^2 + bx + c \) se puede encontrar usando las fórmulas:
- Coordenada en \( x \) del vértice: \( x_v = \frac{-b}{2a} \)
- Coordenada en \( y \) del vértice: \( y_v = f(x_v) \)

Calculamos \( x_v \):

\[
x_v = \frac{-(-1)}{2(-3)} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}
\]

Ahora, sustituimos \( x_v \) en la ecuación original para encontrar \( y_v \):

\[
y_v = -3\left(-\frac{1}{6}\right)^2 - \left(-\frac{1}{6}\right) + 3
\]

\[
y_v = -3\left(\frac{1}{36}\right) + \frac{1}{6} + 3
\]

\[
y_v = -\frac{3}{36} + \frac{1}{6} + 3 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{36}{12}
\]

\[
y_v = \frac{37}{12} - \frac{1}{12} = \frac{36}{12} = 3
\]

Entonces, el vértice de la parábola es:

\[
\left( -\frac{1}{6}, \frac{37}{12} \right)
\]

### Paso 4: Bosquejar la parábola
1. **Dirección de la parábola**: Como \( a = -3 \), la parábola se abre hacia abajo.
2. **Vértice**: El vértice es \( \left( -\frac{1}{6}, \frac{37}{12} \right) \).
3. **Punto de intersección con el eje y**: \( c = 3 \), entonces la parábola corta el eje y en \( (0, 3) \).

### Bosquejo

- La parábola abre hacia abajo.
- El vértice está cerca del origen, en \( x = -\frac{1}{6} \), \( y = \frac{37}{12} \).
- Interseca el eje y en \( (0, 3) \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la intersección con el eje x de una parábola?
2. ¿Cómo afecta el signo del coeficiente \( a \) a la forma de una parábola?
3. ¿Cómo se bosqueja una parábola cuando está en la forma de vértice \( y = a(x-h)^2 + k \)?
4. ¿Qué representa el valor de \( c \) en la ecuación estándar de una parábola?
5. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección con el eje x para una parábola dada?

### Tip:
Recuerda que el coeficiente \( a \) no solo determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, sino también lo "ancha" o "estrecha" que es la parábola.

Learn how to sketch the parabola y = 3 - x - 3x^2 and find its vertex using step-by-step instructions. Understand the vertex formula of a parabola and apply it to this problem. Suitable for high school students studying algebra and quadratic functions.

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