Determine las raíces reales de f(x) = −0.5x^2+2.5x+4.5 Emplea la fórmula cuadrática y después

el método de bisección para localizar las raíces −2 < x1 < −1 y 6 < x2 < 7.

### Paso 1: Determinar las raíces reales utilizando la fórmula cuadrática

La ecuación cuadrática es:

\[
f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5
\]

La fórmula cuadrática para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\) es:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

En este caso, los coeficientes son:
- \(a = -0.5\)
- \(b = 2.5\)
- \(c = 4.5\)

Sustituyendo estos valores en la fórmula cuadrática:

\[
x = \frac{-2.5 \pm \sqrt{(2.5)^2 - 4(-0.5)(4.5)}}{2(-0.5)}
\]

Calculamos el discriminante:

\[
b^2 - 4ac = (2.5)^2 - 4(-0.5)(4.5) = 6.25 + 9 = 15.25
\]

Entonces:

\[
x = \frac{-2.5 \pm \sqrt{15.25}}{-1}
\]

\[
x = \frac{-2.5 \pm 3.905}{-1}
\]

Esto nos da dos posibles soluciones:

\[
x_1 = \frac{-2.5 + 3.905}{-1} = -1.405
\]

\[
x_2 = \frac{-2.5 - 3.905}{-1} = 6.405
\]

### Paso 2: Localizar las raíces utilizando el método de bisección

#### Localizando \(x_1\) en \(-2 < x_1 < -1\)

1. **Intervalo inicial**: \([-2, -1]\)
2. **Calculamos el punto medio**: \(m = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5\)
3. **Evaluamos \(f(-1.5)\)**:
   \[
   f(-1.5) = -0.5(-1.5)^2 + 2.5(-1.5) + 4.5 = -1.125 - 3.75 + 4.5 = -0.375
   \]
4. Como \(f(-2)\) y \(f(-1.5)\) tienen signos opuestos, la raíz está en \([-2, -1.5]\).

5. Repetimos el proceso en intervalos más pequeños hasta encontrar una aproximación de la raíz.

#### Localizando \(x_2\) en \(6 < x_2 < 7\)

1. **Intervalo inicial**: \([6, 7]\)
2. **Calculamos el punto medio**: \(m = \frac{6 + 7}{2} = 6.5\)
3. **Evaluamos \(f(6.5)\)**:
   \[
   f(6.5) = -0.5(6.5)^2 + 2.5(6.5) + 4.5 = -21.125 + 16.25 + 4.5 = -0.375
   \]
4. Como \(f(6)\) y \(f(6.5)\) tienen signos opuestos, la raíz está en \([6, 6.5]\).

5. Repetimos el proceso en intervalos más pequeños hasta encontrar una aproximación de la raíz.

### Resumen de las raíces
- \(x_1 = -1.405\) (usando la fórmula cuadrática)
- \(x_2 = 6.405\) (usando la fórmula cuadrática)

¿Te gustaría más detalles sobre cómo implementar el método de bisección, o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el intervalo inicial para el método de bisección?
2. ¿Qué ocurre si el discriminante en la fórmula cuadrática es negativo?
3. ¿Cómo afecta el cambio en los coeficientes \(a\), \(b\), y \(c\) a las raíces de una ecuación cuadrática?
4. ¿Cómo se puede verificar la exactitud de las raíces obtenidas?
5. ¿Qué otras aplicaciones tiene el método de bisección en matemáticas?

### Tip:
El método de bisección es muy útil para localizar raíces en intervalos específicos, especialmente cuando la función no es fácilmente factorizable.

Learn how to determine the real roots of the quadratic function f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5 using the quadratic formula and the bisection method. Detailed step-by-step solution provided. Suitable for advanced high school students.

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