7-10) Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices.
7. y = 2x² + 3x - 1
8. y = 4x - x²
9. y = 3 - x - 3x²
10. y = 4x² + 16x + 4

el numero 8 por favor



Para bosquejar la parábola dada por la ecuación \( y = 4x - x^2 \) y determinar su vértice, sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Reescribir la ecuación en una forma más estándar
La ecuación original es:

\[
y = -x^2 + 4x
\]

Notamos que el coeficiente de \( x^2 \) es negativo, por lo que la parábola se abre hacia abajo. Para encontrar el vértice, podemos completar el cuadrado o usar la fórmula del vértice.

### Paso 2: Usar la fórmula del vértice
Para una ecuación cuadrática de la forma \( y = ax^2 + bx + c \), el vértice \( (h, k) \) se encuentra usando las siguientes fórmulas:

\[
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = f(h)
\]

Donde:
- \( a = -1 \) (coeficiente de \( x^2 \))
- \( b = 4 \) (coeficiente de \( x \))
- \( c = 0 \) (término independiente)

Calculemos \( h \):

\[
h = -\frac{4}{2(-1)} = \frac{4}{2} = 2
\]

Ahora, encontramos \( k \) evaluando la función en \( h = 2 \):

\[
k = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4
\]

Por lo tanto, el vértice es \( (2, 4) \).

### Paso 3: Bosquejar la parábola
- **Vértice**: \( (2, 4) \)
- **Dirección**: La parábola se abre hacia abajo porque el coeficiente de \( x^2 \) es negativo.
- **Cortes con el eje y**: Cuando \( x = 0 \), \( y = 0 \), por lo que la parábola pasa por el origen.

### Resumen:
La parábola tiene su vértice en \( (2, 4) \), se abre hacia abajo, y pasa por el origen.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se completa el cuadrado para reescribir la ecuación en forma estándar?
2. ¿Cómo se determinan los puntos de corte con los ejes para una parábola?
3. ¿Qué indica la forma de la parábola sobre la dirección en la que se abre?
4. ¿Cómo se interpreta gráficamente el vértice en relación con el resto de la parábola?
5. ¿Qué diferencia hace si el coeficiente de \( x^2 \) es positivo o negativo en la forma de la parábola?

**Tip**: Recuerda que el vértice de una parábola también representa su punto máximo o mínimo dependiendo de si se abre hacia arriba o hacia abajo.

Learn how to sketch the parabola given by y = 4x - x^2 and determine its vertex using the vertex formula and evaluation method. This problem explores quadratic functions and their vertex properties, suitable for high school students in Grades 10-12.

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