Zeigen Sie mit vollst¨andiger Induktion fur alle ¨ n ≥ 1:
7 teilt 3
2n+1 + 2n−1


Um die Aussage mit vollständiger Induktion zu zeigen, dass für alle \( n \geq 1 \):

\[
7 \text{ teilt } 3^{2n+1} + 2^{n-1},
\]

befolgen wir die typischen Schritte der vollständigen Induktion:

### 1. Induktionsanfang

Für \( n = 1 \):

\[
3^{2 \cdot 1 + 1} + 2^{1 - 1} = 3^3 + 2^0 = 27 + 1 = 28.
\]

Da \( 28 = 7 \cdot 4 \), ist \( 28 \) durch 7 teilbar. Der Induktionsanfang ist also wahr.

### 2. Induktionsvoraussetzung

Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges \( n = k \), also:

\[
7 \text{ teilt } 3^{2k+1} + 2^{k-1}.
\]

Das bedeutet, dass es eine ganze Zahl \( m \) gibt, sodass:

\[
3^{2k+1} + 2^{k-1} = 7m.
\]

### 3. Induktionsschritt

Wir müssen zeigen, dass die Aussage auch für \( n = k+1 \) gilt. Das heißt, wir müssen zeigen:

\[
7 \text{ teilt } 3^{2(k+1) + 1} + 2^{(k+1) - 1}.
\]

Vereinfachen wir den Ausdruck:

\[
3^{2(k+1) + 1} + 2^{(k+1) - 1} = 3^{2k + 3} + 2^k.
\]

Diesen Ausdruck können wir umformen zu:

\[
3^{2k + 3} = 3^2 \cdot 3^{2k+1} = 9 \cdot 3^{2k+1}.
\]

Daher ist der Ausdruck:

\[
3^{2k + 3} + 2^k = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2^k.
\]

Nun ersetzen wir \( 3^{2k+1} \) durch \( 7m - 2^{k-1} \) (aus der Induktionsvoraussetzung):

\[
9 \cdot (7m - 2^{k-1}) + 2^k = 63m - 9 \cdot 2^{k-1} + 2^k.
\]

Dieser Ausdruck lässt sich weiter umformen:

\[
63m - 9 \cdot 2^{k-1} + 2^k = 63m - 9 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 2^{k-1}.
\]

Das wird zu:

\[
63m - 7 \cdot 2^{k-1}.
\]

Da \( 63m \) offensichtlich durch 7 teilbar ist und der Term \( -7 \cdot 2^{k-1} \) ebenfalls durch 7 teilbar ist, folgt daraus:

\[
3^{2(k+1) + 1} + 2^{(k+1) - 1} \text{ ist durch 7 teilbar.}
\]

### 4. Schlussfolgerung

Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist gezeigt, dass für alle \( n \geq 1 \):

\[
7 \text{ teilt } 3^{2n+1} + 2^{n-1}.
\]

Möchten Sie weitere Details zu einem bestimmten Schritt? 

Hier sind einige verwandte Fragen, die Sie interessieren könnten:

1. Wie funktioniert der Induktionsanfang bei der vollständigen Induktion?
2. Warum ist die Induktionsvoraussetzung notwendig und wie wird sie genutzt?
3. Wie kann man mathematische Ausdrücke bei Induktionsbeweisen sinnvoll vereinfachen?
4. Was sind andere Methoden, um Teilbarkeitsbeweise zu führen?
5. Wie kann die vollständige Induktion bei komplexeren Aussagen angewendet werden?

**Tipp:** Überprüfen Sie immer die Basisfälle gründlich, da sie oft die Grundlage für die Gültigkeit des gesamten Induktionsbeweises bilden!

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion für alle n ≥ 1: 7 teilt 3^{2n+1} + 2^{n−1}.

Lernen Sie, wie Sie mithilfe der vollständigen Induktion zeigen, dass 7 für alle n ≥ 1 den Ausdruck 3^{2n+1} + 2^{n−1} teilt. Diese fortgeschrittene Übung in Zahlentheorie behandelt wichtige Konzepte wie Teilbarkeitsregeln und mathematische Induktion. Geeignet für Schüler der Klassen 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation