3.- Determinar las razones trigonométricas de 5 triángulos pitagóricos, incluido el triángulo pitagórico navideño.

Para resolver el problema, primero identificamos 5 triángulos pitagóricos y luego calculamos las razones trigonométricas de cada uno. Un triángulo pitagórico está compuesto por tres enteros positivos \( a \), \( b \) y \( c \) que cumplen con el teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( c \) es la hipotenusa del triángulo.

### Triángulos pitagóricos seleccionados:
1. **Triángulo 3-4-5** (el triángulo más básico).
2. **Triángulo 5-12-13**.
3. **Triángulo 7-24-25**.
4. **Triángulo 8-15-17**.
5. **Triángulo 9-12-15** (conocido como el "triángulo pitagórico navideño").

### Razones trigonométricas:

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para un ángulo \( \theta \) en un triángulo rectángulo son:
- \( \sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \)
- \( \cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \)
- \( \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \)

#### 1. Triángulo 3-4-5:
- **Hipotenusa**: \( c = 5 \)
- **Catetos**: \( a = 3 \) (opuesto), \( b = 4 \) (adyacente)

  Para el ángulo cuya lado opuesto es 3:
  - \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} = 0.6 \)
  - \( \cos(\theta) = \frac{4}{5} = 0.8 \)
  - \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} = 0.75 \)

#### 2. Triángulo 5-12-13:
- **Hipotenusa**: \( c = 13 \)
- **Catetos**: \( a = 5 \) (opuesto), \( b = 12 \) (adyacente)

  Para el ángulo cuya lado opuesto es 5:
  - \( \sin(\theta) = \frac{5}{13} \approx 0.3846 \)
  - \( \cos(\theta) = \frac{12}{13} \approx 0.9231 \)
  - \( \tan(\theta) = \frac{5}{12} \approx 0.4167 \)

#### 3. Triángulo 7-24-25:
- **Hipotenusa**: \( c = 25 \)
- **Catetos**: \( a = 7 \) (opuesto), \( b = 24 \) (adyacente)

  Para el ángulo cuya lado opuesto es 7:
  - \( \sin(\theta) = \frac{7}{25} = 0.28 \)
  - \( \cos(\theta) = \frac{24}{25} = 0.96 \)
  - \( \tan(\theta) = \frac{7}{24} \approx 0.2917 \)

#### 4. Triángulo 8-15-17:
- **Hipotenusa**: \( c = 17 \)
- **Catetos**: \( a = 8 \) (opuesto), \( b = 15 \) (adyacente)

  Para el ángulo cuya lado opuesto es 8:
  - \( \sin(\theta) = \frac{8}{17} \approx 0.4706 \)
  - \( \cos(\theta) = \frac{15}{17} \approx 0.8824 \)
  - \( \tan(\theta) = \frac{8}{15} \approx 0.5333 \)

#### 5. Triángulo 9-12-15 (el triángulo pitagórico navideño):
- **Hipotenusa**: \( c = 15 \)
- **Catetos**: \( a = 9 \) (opuesto), \( b = 12 \) (adyacente)

  Para el ángulo cuya lado opuesto es 9:
  - \( \sin(\theta) = \frac{9}{15} = 0.6 \)
  - \( \cos(\theta) = \frac{12}{15} = 0.8 \)
  - \( \tan(\theta) = \frac{9}{12} = 0.75 \)

### Conclusión:
Las razones trigonométricas para estos triángulos pitagóricos permiten obtener las proporciones de los lados en función de los ángulos, mostrando cómo se relacionan los catetos y la hipotenusa en cada caso.

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el ángulo en grados a partir de una razón trigonométrica?
2. ¿Existen otros triángulos pitagóricos que no mencionamos?
3. ¿Cuál es el origen del triángulo pitagórico navideño?
4. ¿Cómo se derivan las identidades trigonométricas a partir de estos triángulos?
5. ¿Cómo afecta la semejanza de triángulos a las razones trigonométricas?

**Tip**: Para obtener ángulos a partir de razones trigonométricas, puedes usar funciones inversas como \( \arcsin \), \( \arccos \), o \( \arctan \).

Aprende a calcular las razones trigonométricas de cinco triángulos pitagóricos, incluyendo el triángulo pitagórico navideño. Este problema cubre conceptos clave de trigonometría y teorema de Pitágoras, utilizando fórmulas para el seno, coseno y tangente. Adecuado para estudiantes de 9° a 12° grado.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation