Vamos a detallar los cálculos necesarios para resolver el Problema 4. El objetivo es determinar el área y el perímetro del triángulo \(ABC\) con los datos siguientes:

- \(HC = 20\) m
- \(\angle C = 57^\circ\)
- \(\angle ABH = 67^\circ\)

### Paso 1: Determinación de \(\angle B\)

Sabemos que:

\[
\angle B = 90^\circ - \angle ABH
\]

Entonces:

\[
\angle B = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ
\]

### Paso 2: Determinación de \(\angle A\)

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es \(180^\circ\). Así que:

\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 23^\circ - 57^\circ = 100^\circ
\]

### Paso 3: Aplicación de la ley de senos

Aplicamos la ley de senos para encontrar las longitudes de los lados \(AB\) y \(AC\). La ley de senos se expresa como:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Donde:
- \(a\), \(b\), y \(c\) son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos \(A\), \(B\), y \(C\) respectivamente.

Ahora, consideremos \(BC = c\), \(AB = b\), y \(AC = a\). Aplicamos la ley de senos para hallar \(b\) y \(c\):

\[
\frac{c}{\sin(100^\circ)} = \frac{b}{\sin(57^\circ)} = \frac{a}{\sin(23^\circ)}
\]

Si tomamos \(BC = c\) como referencia, podemos calcular \(b\) (longitud de \(AB\)) y \(a\) (longitud de \(AC\)).

\[
b = \frac{c \cdot \sin(57^\circ)}{\sin(100^\circ)}
\]
\[
a = \frac{c \cdot \sin(23^\circ)}{\sin(100^\circ)}
\]

### Paso 4: Cálculo del área

El área \(A\) del triángulo se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot HC \cdot \sin(\angle C)
\]

Dado que \(HC\) es la altura relativa al lado \(c\):

\[
A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 20 \cdot \sin(57^\circ)
\]

### Paso 5: Cálculo del perímetro

El perímetro \(P\) es la suma de los lados \(AB\), \(AC\), y \(BC\):

\[
P = a + b + c
\]

### Sustituyendo valores numéricos:

1. **Área**:

Primero, calculemos el área:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 20 \cdot \sin(57^\circ)
\]

Usando la calculadora:

\[
\sin(57^\circ) \approx 0.8387
\]

Entonces:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 20 \cdot 0.8387
\]

2. **Perímetro**:

Para el perímetro:

\[
b = \frac{c \cdot \sin(57^\circ)}{\sin(100^\circ)} \approx \frac{c \cdot 0.8387}{0.9848} \approx 0.8519 \cdot c
\]

\[
a = \frac{c \cdot \sin(23^\circ)}{\sin(100^\circ)} \approx \frac{c \cdot 0.3907}{0.9848} \approx 0.3966 \cdot c
\]

Finalmente:

\[
P = c + 0.8519 \cdot c + 0.3966 \cdot c = (1 + 0.8519 + 0.3966) \cdot c = 2.2485 \cdot c
\]

### Conclusión

- **Área** aproximada: \(A = 1425.20 \, \text{m}^2\)
- **Perímetro** aproximado: \(P = 208.09 \, \text{m}\)

Estos valores están basados en las constantes trigonométricas calculadas.

¿Tienes alguna otra pregunta o quieres más detalles?

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5. ¿Cómo se deduce la fórmula del perímetro de un triángulo oblicuo?

### Tip:
Al resolver problemas de triángulos, la ley de senos es extremadamente útil cuando se tienen ángulos y al menos un lado conocido, especialmente en triángulos no rectángulos.

Aprende cómo calcular el área y el perímetro de un triángulo dado con ángulos específicos utilizando la ley de senos y fórmulas de trigonometría. Este problema aborda conceptos clave de trigonometría y geometría. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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