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La ecuación diferencial proporcionada es:

\[
x \frac{dy}{dx} - y = \frac{y}{\ln y - \ln x}
\]

### Paso 1: Simplificación inicial

Podemos reorganizar la ecuación para poner todos los términos que contienen \(y\) y sus derivadas en un lado:

\[
x \frac{dy}{dx} - y = \frac{y}{\ln y - \ln x}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( \ln y - \ln x \) para eliminar el denominador:

\[
(x \frac{dy}{dx} - y)(\ln y - \ln x) = y
\]

### Paso 2: Aplicación de un cambio de variables

Consideremos un cambio de variables para simplificar la expresión. Si definimos:

\[
z = \frac{y}{x}
\]

Entonces, \( y = zx \) y al derivar con respecto a \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = z + x\frac{dz}{dx}
\]

Sustituyendo en la ecuación original:

\[
x(z + x \frac{dz}{dx}) - zx = \frac{zx}{\ln(zx) - \ln x}
\]

Simplificamos:

\[
x^2 \frac{dz}{dx} = \frac{zx}{\ln z + \ln x - \ln x} = \frac{zx}{\ln z}
\]

Lo que reduce la ecuación a:

\[
x^2 \frac{dz}{dx} = \frac{zx}{\ln z}
\]

Dividimos ambos lados por \( xz \):

\[
\frac{x}{z} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\ln z}
\]

O, reorganizando:

\[
\frac{dz}{z \ln z} = \frac{dx}{x}
\]

### Paso 3: Integración

Integramos ambos lados de la ecuación para resolver \(z(x)\):

\[
\int \frac{dz}{z \ln z} = \int \frac{dx}{x}
\]

Para integrar el lado izquierdo, usamos la sustitución \( u = \ln z \), entonces \( du = \frac{1}{z} dz \):

\[
\int \frac{du}{u} = \ln |x| + C
\]

Lo que nos da:

\[
\ln |\ln z| = \ln |x| + C
\]

Exponentiamos ambos lados para deshacernos del logaritmo:

\[
|\ln z| = kx
\]

donde \( k = e^C \) es una constante de integración. Entonces:

\[
\ln \left| \frac{y}{x} \right| = kx
\]

Tomando el exponente de ambos lados nuevamente, obtenemos:

\[
\frac{y}{x} = e^{kx}
\]

Finalmente, la solución general de la ecuación diferencial es:

\[
y(x) = x e^{kx}
\]

donde \(k\) es una constante arbitraria.

¿Tienes alguna duda o te gustaría obtener más detalles sobre algún paso en particular?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza un cambio de variables en una ecuación diferencial?
2. ¿Qué otras técnicas pueden usarse para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?
3. ¿Cuál es el significado de la constante de integración en la solución general?
4. ¿Cómo se identifican y resuelven ecuaciones diferenciales homogéneas?
5. ¿Qué pasos se siguen para verificar la solución de una ecuación diferencial?

**Tip:** Al resolver ecuaciones diferenciales, un cambio de variables bien elegido puede simplificar considerablemente el problema, permitiendo utilizar técnicas más directas como la integración.

Learn how to solve the differential equation x(dy/dx) - y = y/(ln y - ln x) step-by-step with a detailed solution. This problem involves differential equations and a variable change technique to simplify and integrate the equation. Suitable for undergraduate students and anyone interested in advanced calculus.

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