Sea R una relación en M = {4, 8, 10, 14, 20} definida por “x e y son compuestos”, esto es “tienen divisores comunes”
a.
Escribir R como un conjunto de pares ordenados.
b.
Representar R en un diagrama de coordenadas M × M.

Dada la relación \( R \) en el conjunto \( M = \{4, 8, 10, 14, 20\} \) definida por “\( x \) e \( y \) son compuestos”, lo que significa que tienen divisores comunes, vamos a resolver las dos partes del problema:

### a. Escribir \( R \) como un conjunto de pares ordenados.

Primero, encontramos los divisores de cada elemento del conjunto \( M \):

- Divisores de 4: \( \{1, 2, 4\} \)
- Divisores de 8: \( \{1, 2, 4, 8\} \)
- Divisores de 10: \( \{1, 2, 5, 10\} \)
- Divisores de 14: \( \{1, 2, 7, 14\} \)
- Divisores de 20: \( \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} \)

Ahora, identificamos los pares \((x, y)\) tales que \( x \) e \( y \) tienen al menos un divisor en común (además del 1):

1. \( (4, 8) \): Divisores comunes = \( \{1, 2, 4\} \)
2. \( (4, 10) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)
3. \( (4, 14) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)
4. \( (4, 20) \): Divisores comunes = \( \{1, 2, 4\} \)
5. \( (8, 10) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)
6. \( (8, 14) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)
7. \( (8, 20) \): Divisores comunes = \( \{1, 2, 4\} \)
8. \( (10, 14) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)
9. \( (10, 20) \): Divisores comunes = \( \{1, 2, 5, 10\} \)
10. \( (14, 20) \): Divisores comunes = \( \{1, 2\} \)

Además, debido a la propiedad de simetría (si \( (x, y) \in R \), entonces \( (y, x) \in R \)), debemos incluir los pares simétricos correspondientes:

Por lo tanto, \( R \) como un conjunto de pares ordenados es:
\[
R = \{(4, 8), (4, 10), (4, 14), (4, 20), (8, 10), (8, 14), (8, 20), (10, 14), (10, 20), (14, 20), \ (8, 4), (10, 4), (14, 4), (20, 4), (10, 8), (14, 8), (20, 8), (14, 10), (20, 10), (20, 14)\}
\]

### b. Representar \( R \) en un diagrama de coordenadas \( M \times M \).

Para representar la relación \( R \) en un diagrama de coordenadas:

- Dibujamos una cuadrícula donde tanto el eje \( x \) como el eje \( y \) representan los elementos del conjunto \( M \).
- Luego, marcamos los puntos correspondientes a cada par ordenado en la cuadrícula.

Si quieres, puedo crear un diagrama de coordenadas para mostrar visualmente la relación \( R \).

¿Te gustaría ver el diagrama de coordenadas o necesitas alguna aclaración? 

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se determinarían las relaciones si \( M \) fuera un conjunto más grande?
2. ¿Qué ocurre si definimos \( R \) como “\( x \) y \( y \) son coprimos” en lugar de “compuestos”?
3. ¿Cómo cambiaría la representación de \( R \) si \( M \) incluyera solo números primos?
4. ¿Podrías identificar las relaciones reflexivas, simétricas o transitivas en este conjunto?
5. ¿Cómo se aplicaría este concepto en otras áreas de las matemáticas o la informática?

### Tip
Para resolver problemas de relaciones, es útil escribir primero todos los pares posibles y luego eliminar aquellos que no satisfacen la condición dada. Esto facilita la visualización de la relación y asegura la precisión.

Explore how relations are defined in mathematics using the example of M = {4, 8, 10, 14, 20}. Learn about the relationship R defined as 'x and y are composite', meaning they share common divisors. Includes step-by-step pairs listing and coordinates diagram representation.

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