integra por partes la siguiente ecuacion x^4lnxdx

Para resolver la integral \(\int x^4 \ln(x) \, dx\) usando el método de integración por partes, podemos seguir los siguientes pasos:

### 1. Identificación de \( u \) y \( dv \):

La fórmula de integración por partes es:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Seleccionamos:
\[
u = \ln(x) \quad \text{y} \quad dv = x^4 \, dx
\]

### 2. Derivada de \( u \) e integral de \( dv \):

Ahora derivamos \( u \) e integramos \( dv \):
\[
du = \frac{1}{x} \, dx
\]
\[
v = \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
\]

### 3. Aplicar la fórmula de integración por partes:

Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
\[
\int x^4 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^5}{5} - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]

Simplificamos la integral resultante:
\[
\int x^4 \ln(x) \, dx = \frac{x^5 \ln(x)}{5} - \frac{1}{5} \int x^4 \, dx
\]

### 4. Resolver la integral restante:

Ahora integramos \( \int x^4 \, dx \):
\[
\frac{1}{5} \int x^4 \, dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{x^5}{25}
\]

### 5. Resultado final:

Sustituimos la integral resuelta en la expresión original:
\[
\int x^4 \ln(x) \, dx = \frac{x^5 \ln(x)}{5} - \frac{x^5}{25} + C
\]

Donde \( C \) es la constante de integración.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se eligen \( u \) y \( dv \) en integración por partes?
2. ¿Qué sucede si se elige mal \( u \) y \( dv \)?
3. ¿Cuál es la diferencia entre integración por partes e integración por sustitución?
4. ¿Cómo se resuelven integrales con funciones trigonométricas usando integración por partes?
5. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para resolver integrales complejas?

**Tip:** En integración por partes, es útil elegir \( u \) como una función que se simplifica al derivar, y \( dv \) como una función que no se complica mucho al integrar.

Learn how to integrate the function x^4 ln(x) step-by-step using integration by parts method. This problem involves advanced techniques in integral calculus, including the power rule and integration by parts formula. Suitable for advanced undergraduate students.

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