4. Sea a = ⟨2, 2, 1⟩, b = ⟨4, −3, 1⟩ y c = ⟨3, 1, −2⟩. Determine las siguientes operaciones y determine el ángulo entre los vectores involucrados en cada producto (Mediante el determinante).
a) a×b b) b×a c) a×c d) c×b e) c×c
Nota: Puede ocupar cualquier propiedad que reduzca los cálculos, solo mencione que propiedad usó.

Dado que tenemos los vectores \( \mathbf{a} = \langle 2, 2, 1 \rangle \), \( \mathbf{b} = \langle 4, -3, 1 \rangle \), y \( \mathbf{c} = \langle 3, 1, -2 \rangle \), se nos pide calcular los productos cruzados \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \), \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} \), \( \mathbf{a} \times \mathbf{c} \), \( \mathbf{c} \times \mathbf{b} \) y \( \mathbf{c} \times \mathbf{c} \), así como el ángulo entre los vectores involucrados en cada operación.

### a) \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)
El producto cruzado de \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) se calcula utilizando el determinante de una matriz:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & 1 \\
4 & -3 & 1
\end{vmatrix}
\]

Expandiendo el determinante:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(2 \times 1 - 1 \times -3) - \mathbf{j}(2 \times 1 - 1 \times 4) + \mathbf{k}(2 \times -3 - 2 \times 4)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(2 + 3) - \mathbf{j}(2 - 4) + \mathbf{k}(-6 - 8)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(5) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-14)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle 5, 2, -14 \rangle
\]

Para el ángulo \( \theta \) entre \( \mathbf{a} \) y \( \mathbf{b} \), utilizamos la magnitud del producto cruzado y las magnitudes de los vectores:

\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-14)^2} = \sqrt{25 + 4 + 196} = \sqrt{225} = 15
\]

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]

\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}
\]

El ángulo se calcula con:

\[
\sin \theta = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{15}{3\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}
\]

\[
\theta = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)
\]

### b) \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} \)

Por la propiedad antisimétrica del producto cruzado, sabemos que:

\[
\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})
\]

Por lo tanto:

\[
\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \langle -5, -2, 14 \rangle
\]

El ángulo es el mismo que en el caso anterior, ya que \( \mathbf{b} \times \mathbf{a} \) y \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) solo difieren en dirección.

### c) \( \mathbf{a} \times \mathbf{c} \)

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -2
\end{vmatrix}
\]

Expandiendo el determinante:

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(2 \times -2 - 1 \times 1) - \mathbf{j}(2 \times -2 - 1 \times 3) + \mathbf{k}(2 \times 1 - 2 \times 3)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(-4 - 1) - \mathbf{j}(-4 - 3) + \mathbf{k}(2 - 6)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(-4)
\]

\[
\mathbf{a} \times \mathbf{c} = \langle -5, 7, -4 \rangle
\]

Para el ángulo:

\[
|\mathbf{a} \times \mathbf{c}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 49 + 16} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}
\]

\[
|\mathbf{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}
\]

\[
\sin \theta = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{c}|}{|\mathbf{a}| |\mathbf{c}|} = \frac{3\sqrt{10}}{3\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{10}{14}} = \sqrt{\frac{5}{7}}
\]

\[
\theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)
\]

### d) \( \mathbf{c} \times \mathbf{b} \)

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 1 & -2 \\
4 & -3 & 1
\end{vmatrix}
\]

Expandiendo el determinante:

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(1 \times 1 - (-2) \times -3) - \mathbf{j}(3 \times 1 - (-2) \times 4) + \mathbf{k}(3 \times -3 - 1 \times 4)
\]

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(1 - 6) - \mathbf{j}(3 + 8) + \mathbf{k}(-9 - 4)
\]

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(11) + \mathbf{k}(-13)
\]

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{b} = \langle -5, -11, -13 \rangle
\]

Para el ángulo:

\[
|\mathbf{c} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-11)^2 + (-13)^2} = \sqrt{25 + 121 + 169} = \sqrt{315} = 3\sqrt{35}
\]

\[
\sin \theta = \frac{|\mathbf{c} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{c}| |\mathbf{b}|} = \frac{3\sqrt{35}}{\sqrt{14}\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{15}{52}}
\]

\[
\theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{15}{52}}\right)
\]

### e) \( \mathbf{c} \times \mathbf{c} \)

El producto cruzado de un vector consigo mismo siempre es el vector cero:

\[
\mathbf{c} \times \mathbf{c} = \mathbf{0}
\]

Por lo tanto, no hay ángulo definido entre \( \mathbf{c} \) y \( \mathbf{c} \), ya que \( \sin \theta \) sería cero.

---

**¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos cálculos?**

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