Elegí la ecuación que corresponde a la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x^4-2x paralela a la recta de ecuación 4x-2y=6

Para resolver este problema, necesitamos encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x) = x^4 - 2x \) que es paralela a la recta dada \( 4x - 2y = 6 \).

### 1. Determinar la pendiente de la recta dada
Primero, reescribimos la ecuación \( 4x - 2y = 6 \) en la forma pendiente-intersección \( y = mx + b \):

\[
-2y = -4x + 6
\]

\[
y = 2x - 3
\]

De esta forma, la pendiente \( m \) de la recta dada es 2.

### 2. Encontrar la derivada de \( f(x) \)
La derivada de \( f(x) \) nos da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto \( x \) de la curva:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x) = 4x^3 - 2
\]

### 3. Igualar la derivada a la pendiente de la recta
Para que la recta tangente sea paralela a la recta dada, su pendiente debe ser igual a 2. Entonces, igualamos la derivada a 2 y resolvemos para \( x \):

\[
4x^3 - 2 = 2
\]

\[
4x^3 = 4
\]

\[
x^3 = 1
\]

\[
x = 1
\]

### 4. Evaluar la función en \( x = 1 \)
Ahora evaluamos la función en \( x = 1 \) para obtener el punto de tangencia:

\[
f(1) = 1^4 - 2(1) = 1 - 2 = -1
\]

El punto de tangencia es \( (1, -1) \).

### 5. Hallar la ecuación de la recta tangente
Finalmente, usamos la fórmula de la recta tangente que pasa por el punto \( (1, -1) \) con pendiente \( m = 2 \):

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Sustituyendo los valores:

\[
y - (-1) = 2(x - 1)
\]

Simplificando:

\[
y + 1 = 2x - 2
\]

\[
y = 2x - 3
\]

### Respuesta
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x) = x^4 - 2x \) que es paralela a la recta \( 4x - 2y = 6 \) es:

\[
y = 2x - 3
\]

¿Necesitas más detalles o alguna explicación adicional?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo encontrar la tangente en un punto dado si la pendiente no es paralela a una recta específica?
2. ¿Cómo afecta la derivada a la forma de la curva de la función?
3. ¿Qué se puede decir sobre la relación entre la segunda derivada y la concavidad de la función en \( x = 1 \)?
4. ¿Cómo se determina si dos funciones tienen tangentes paralelas en algún punto?
5. ¿Cuál es la importancia geométrica de la pendiente de la tangente en un punto de una función?

**Tip:** Cuando la derivada de una función en un punto iguala la pendiente de una recta dada, las tangentes a la función en ese punto son paralelas a la recta.

Learn how to find the tangent line parallel to 4x - 2y = 6 for the function f(x) = x^4 - 2x. This problem involves derivatives and parallel lines, suitable for high school students.

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