Analizar las superficies de nivel que se pueden obtener para las siguientes funciones.

c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 10௫
మା௬మା௭మ 

La función dada es \( f(x, y, z) = \frac{10x}{x^2 + y^2 + z^2} \).

Para analizar las superficies de nivel de esta función, primero definimos qué significa una superficie de nivel. Una **superficie de nivel** para una función \( f(x, y, z) \) es el conjunto de puntos \( (x, y, z) \) en el espacio tal que \( f(x, y, z) = c \), donde \( c \) es una constante. Es decir, resolvemos la ecuación \( \frac{10x}{x^2 + y^2 + z^2} = c \) para distintas constantes \( c \).

### Resolviendo para \( x^2 + y^2 + z^2 \):
La ecuación de la superficie de nivel se convierte en:

\[
\frac{10x}{x^2 + y^2 + z^2} = c
\]

Multiplicando ambos lados por \( x^2 + y^2 + z^2 \), obtenemos:

\[
10x = c(x^2 + y^2 + z^2)
\]

Reordenando:

\[
c(x^2 + y^2 + z^2) - 10x = 0
\]

Esto se puede reescribir como:

\[
c(x^2 + y^2 + z^2) = 10x
\]

Finalmente, dividimos ambos lados por \( c \) (asumiendo \( c \neq 0 \)):

\[
x^2 + y^2 + z^2 = \frac{10}{c}x
\]

Esta ecuación describe una superficie de nivel, que es una cuádrica.

### Clasificación de las superficies según \( c \):

1. **Cuando \( c = 0 \):**
   \[
   \frac{10x}{x^2 + y^2 + z^2} = 0 \implies 10x = 0 \implies x = 0
   \]
   Esta es la ecuación de un plano en \( x = 0 \).

2. **Cuando \( c \neq 0 \):**
   \[
   x^2 + y^2 + z^2 - \frac{10}{c}x = 0
   \]
   Esta es la ecuación de un paraboloide elíptico desplazado. Para simplificar, completamos el cuadrado:

   \[
   x^2 - \frac{10}{c}x + y^2 + z^2 = 0
   \]

   \[
   \left( x - \frac{5}{c} \right)^2 - \frac{25}{c^2} + y^2 + z^2 = 0
   \]

   \[
   \left( x - \frac{5}{c} \right)^2 + y^2 + z^2 = \frac{25}{c^2}
   \]

   Esta es la ecuación de una esfera de radio \( \frac{5}{|c|} \) centrada en el punto \( \left(\frac{5}{c}, 0, 0\right) \).

### Interpretación:

- Para \( c = 0 \), las superficies de nivel son planos en \( x = 0 \).
- Para \( c \neq 0 \), las superficies de nivel son esferas centradas en \( \left(\frac{5}{c}, 0, 0\right) \) con un radio que depende de \( |c| \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre este análisis?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtienen las superficies de nivel para una función con dos variables?
2. ¿Qué es un paraboloide elíptico y cómo se forma?
3. ¿Cómo afecta el signo de \( c \) en la forma de las superficies de nivel?
4. ¿Qué ocurre con las superficies de nivel cuando \( c \) tiende a infinito?
5. ¿Cómo se relacionan las superficies de nivel con el gradiente de una función?

**Tip:** Completar el cuadrado es una técnica útil para analizar y clasificar cónicas y cuádricas en el espacio tridimensional.

Explore the analysis of level surfaces for the function f(x, y, z) = 10x / (x^2 + y^2 + z^2). Learn how to derive and classify these surfaces, including planar and spherical level surfaces. Suitable for undergraduate students studying multivariable calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation