En la clase de Matemáticas la profesora propone la siguiente función 𝑓(𝑥) = (5𝑥2+2𝑥−2)/(3𝑥−1) y solicita que se encuentre la pendiente de la recta tangente a esta curva en 𝑥 = 2/ 3 . ¿Cuál es la ecuación de esta recta tangente? 

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto \( x = \frac{2}{3} \), debemos seguir estos pasos:

### 1. Derivar la función \( f(x) \)
La pendiente de la recta tangente en un punto está dada por la derivada de la función \( f(x) \) evaluada en ese punto. La función que tenemos es:
\[
f(x) = \frac{5x^2 + 2x - 2}{3x - 1}
\]
Aplicaremos la regla del cociente para derivar \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{(v \cdot u' - u \cdot v')}{v^2}
\]
Donde:
- \( u(x) = 5x^2 + 2x - 2 \) es el numerador.
- \( v(x) = 3x - 1 \) es el denominador.

Primero derivamos \( u(x) \) y \( v(x) \):
\[
u'(x) = 10x + 2
\]
\[
v'(x) = 3
\]

Usando la regla del cociente, la derivada de \( f(x) \) es:
\[
f'(x) = \frac{(3x - 1)(10x + 2) - (5x^2 + 2x - 2)(3)}{(3x - 1)^2}
\]

### 2. Evaluar la derivada en \( x = \frac{2}{3} \)
Para encontrar la pendiente en \( x = \frac{2}{3} \), sustituimos \( x = \frac{2}{3} \) en la derivada \( f'(x) \).

### 3. Encontrar el punto de tangencia \( (x_0, y_0) \)
El punto de tangencia tiene coordenadas \( \left(\frac{2}{3}, f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \). Sustituimos \( x = \frac{2}{3} \) en la función original \( f(x) \) para encontrar \( y_0 \).

### 4. Ecuación de la recta tangente
Finalmente, la ecuación de la recta tangente en la forma punto-pendiente es:
\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\]
Donde \( m = f'\left(\frac{2}{3}\right) \), \( x_0 = \frac{2}{3} \) y \( y_0 = f\left(\frac{2}{3}\right) \).

Ahora vamos a realizar estos cálculos.

La derivada de la función \( f(x) \) es:
\[
f'(x) = \frac{15x^2 - 10x + 4}{9x^2 - 6x + 1}
\]

Al evaluar la derivada en \( x = \frac{2}{3} \), obtenemos la pendiente de la recta tangente:
\[
m = 4
\]

Para encontrar el punto de tangencia, evaluamos la función en \( x = \frac{2}{3} \):
\[
y_0 = f\left(\frac{2}{3}\right) = 1.5556
\]

### Ecuación de la recta tangente:
Con la pendiente \( m = 4 \) y el punto \( \left(\frac{2}{3}, 1.5556\right) \), usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
\[
y - 1.5556 = 4\left(x - \frac{2}{3}\right)
\]
Simplificando, la ecuación de la recta tangente es:
\[
y = 4x - 1.1111
\]

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre los pasos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se utiliza la regla del cociente en la derivación?
2. ¿Qué significado tiene la pendiente de la recta tangente?
3. ¿Por qué es necesario encontrar el punto de tangencia?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la recta tangente a una curva?
5. ¿Cómo se simplifica la ecuación de la recta tangente?

**Tip**: Practicar con diferentes funciones te ayudará a identificar rápidamente cuándo usar la regla del cociente en derivadas.

En la clase de Matemáticas la profesora propone la siguiente función 𝑓(𝑥) = (5𝑥^2+2𝑥−2)/(3𝑥−1) y solicita que se encuentre la pendiente de la recta tangente a esta curva en 𝑥 = 2/3. ¿Cuál es la ecuación de esta recta tangente?

Learn how to find the equation of the tangent line to the curve f(x) = (5x^2 + 2x - 2) / (3x - 1) at x = 2/3. This calculus problem involves applying the quotient rule to derive the function and using the point-slope formula to write the tangent equation. Suitable for high school students studying calculus.

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