f(x)=x e^(x/4) 	Calcula la integral indefinida de la función f(x) mediante el método de integración por partes. Anexa el procedimiento completo.

Para calcular la integral indefinida de la función \( f(x) = x e^{x/4} \) mediante el método de integración por partes, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Definición del método de integración por partes:
La fórmula de integración por partes es:
\[
\int u \, dv = u \, v - \int v \, du
\]
Donde:
- \( u \) y \( dv \) son partes de la función a integrar que debemos elegir adecuadamente.

### 2. Elección de \( u \) y \( dv \):
Elegimos:
- \( u = x \) → entonces \( du = dx \)
- \( dv = e^{x/4} dx \) → entonces \( v \) es la integral de \( dv \).

### 3. Calcular \( v \):
Integramos \( dv = e^{x/4} dx \) para encontrar \( v \):
\[
v = \int e^{x/4} \, dx
\]
Para integrar \( e^{x/4} \), hacemos un cambio de variable:
- Sea \( w = \frac{x}{4} \), entonces \( dw = \frac{1}{4} dx \) → \( dx = 4 \, dw \).

La integral se convierte en:
\[
v = \int e^{w} \cdot 4 \, dw = 4 \int e^{w} \, dw = 4 e^{w} + C = 4 e^{x/4}
\]
(El constante de integración \( C \) se omite en el paso intermedio, pues se considera en la integral final).

Por lo tanto, \( v = 4 e^{x/4} \).

### 4. Aplicar la fórmula de integración por partes:
Usando la fórmula de integración por partes:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = u \cdot v - \int v \, du
\]
Sustituyendo \( u = x \), \( du = dx \), \( v = 4 e^{x/4} \), obtenemos:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = x \cdot 4 e^{x/4} - \int 4 e^{x/4} \, dx
\]

### 5. Calcular la integral restante:
Ya calculamos anteriormente que:
\[
\int e^{x/4} \, dx = 4 e^{x/4}
\]
Por lo tanto:
\[
\int 4 e^{x/4} \, dx = 4 \cdot 4 e^{x/4} = 16 e^{x/4}
\]

### 6. Escribir la solución completa:
Sustituyendo, la integral es:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4 x e^{x/4} - 16 e^{x/4} + C
\]
Donde \( C \) es la constante de integración.

### Respuesta Final:
\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4 \left( x - 4 \right) e^{x/4} + C
\]

¿Tienes alguna pregunta sobre este procedimiento o te gustaría que explique algún paso en detalle?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se elige la función \( u \) en el método de integración por partes?
2. ¿Por qué se utiliza un cambio de variable en la integración de \( e^{x/4} \)?
3. ¿Cómo se puede verificar que la solución de la integral es correcta?
4. ¿Existen otros métodos para integrar \( x e^{x/4} \)?
5. ¿Cómo afecta el valor de \( C \) en la solución final?

### Tip:
Al usar el método de integración por partes, es útil elegir \( u \) como la función que se simplifica al derivar y \( dv \) como la función que es fácil de integrar.

Learn how to calculate the indefinite integral of the function f(x) = x e^(x/4) using the integration by parts method. Detailed step-by-step procedure with examples and explanation of the integration by parts formula. Suitable for advanced high school and college-level students.

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