MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUE APPLIQUÉES AU SECTEUR TECHNIQUE
1 — 
Etudie chaque fonction suivante en déterminant son domaine de définition,
ses asymptotes et en construisant le tableau de variation afin de dessiner son
graphique.
a) f(x) = cos(O. 5x)

Pour étudier la fonction \( f(x) = \cos(0.5x) \), nous allons procéder par étapes :

### 1. Domaine de définition
La fonction \( f(x) = \cos(0.5x) \) est définie pour **tous les réels** \( x \). Il n'y a aucune restriction sur \( x \) pour que la fonction soit définie, car la fonction cosinus est définie pour toute valeur réelle.

**Domaine de définition :** \( \mathbb{R} \)

### 2. Asymptotes
Les asymptotes sont des lignes auxquelles la courbe de la fonction se rapproche à l'infini. Cependant, la fonction cosinus est une fonction périodique et bornée entre -1 et 1, ce qui signifie qu'il **n'y a aucune asymptote** pour cette fonction.

**Asymptotes :** Aucune

### 3. Tableau de variation
Pour établir le tableau de variation de \( f(x) = \cos(0.5x) \), nous devons d'abord examiner la dérivée de la fonction.

**Dérivée de la fonction :**
\[
f'(x) = -0.5 \sin(0.5x)
\]
La dérivée est nulle lorsque \( \sin(0.5x) = 0 \). Cela se produit lorsque \( 0.5x = n\pi \), c'est-à-dire lorsque \( x = 2n\pi \), où \( n \) est un entier relatif.

Pour comprendre les variations de la fonction, il est utile de considérer les signes de la dérivée :

- Lorsque \( \sin(0.5x) > 0 \), \( f'(x) < 0 \) : la fonction décroît.
- Lorsque \( \sin(0.5x) < 0 \), \( f'(x) > 0 \) : la fonction croît.

Ainsi, la fonction présente un comportement oscillant. Le tableau de variation est périodique et dépend de l'intervalle entre deux points d'annulation consécutifs de la dérivée.

**Tableau de variation :**

\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & -\infty & 2n\pi & 2n\pi + \pi & 2(n+1)\pi & \cdots & +\infty \\
\hline
f(x) & \rightarrow 0 & 1 & -1 & 1 & \cdots & \rightarrow 0 \\
\text{Variation} & \text{Décroissant} & \text{Croissant} & \text{Décroissant} & \text{Croissant} & \cdots & \text{Oscillant}
\end{array}
\]

### 4. Graphique de la fonction
Le graphique de \( f(x) = \cos(0.5x) \) est une courbe sinusoïdale avec une période de \( 4\pi \), car la période de \( \cos(0.5x) \) est donnée par \( \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \).

**Résumé graphique :**
- Le maximum est atteint en \( x = 2n\pi \), et la valeur maximale est 1.
- Le minimum est atteint en \( x = 2n\pi + \pi \), et la valeur minimale est -1.
- La fonction est périodique avec une période de \( 4\pi \).

Voulez-vous plus de détails sur l'une de ces étapes, ou avez-vous des questions ?

### Questions supplémentaires pour approfondir :
1. Comment démontrer mathématiquement la périodicité d'une fonction ?
2. Quelle est la signification des asymptotes dans l'analyse des fonctions ?
3. Pourquoi les fonctions trigonométriques n'ont-elles pas d'asymptotes verticales ?
4. Comment la dérivée influence-t-elle la construction du tableau de variation ?
5. Quelle est la différence entre une fonction croissante et une fonction strictement croissante ?

**Astuce :** Pour tracer avec précision une fonction trigonométrique, il est souvent utile de calculer quelques points clés, comme les zéros, les maxima, et les minima, avant de dessiner la courbe.

Explore the study of the function f(x) = cos(0.5x), including domain determination, asymptotes, variation table construction, and graphical representation. Understand the periodic nature of cosine functions and their variation patterns. Suitable for advanced high school students.

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