f(x)=x e^(x/4) 	Calcula la integral indefinida de la función f(x) mediante el método de integración por partes. Anexa el procedimiento completo.

Para calcular la integral indefinida de la función \( f(x) = x e^{x/4} \) mediante el método de integración por partes, seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Recordar la fórmula de integración por partes

La fórmula de integración por partes es:

\[
\int u \, dv = u v - \int v \, du
\]

donde \( u \) y \( dv \) son partes de la función original que se integrará.

### Paso 2: Elegir \( u \) y \( dv \)

Para aplicar la integración por partes a \( \int x e^{x/4} \, dx \), elegimos:

\[
u = x, \quad dv = e^{x/4} \, dx
\]

Ahora necesitamos calcular \( du \) y \( v \):

1. Derivar \( u = x \):

\[
du = dx
\]

2. Integrar \( dv = e^{x/4} \, dx \):

Para integrar \( e^{x/4} \), recordamos que la integral de \( e^{ax} \) es \( \frac{1}{a} e^{ax} \), así que:

\[
v = \int e^{x/4} \, dx = 4 e^{x/4}
\]

### Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes

Sustituimos \( u \), \( v \), \( du \), y \( dv \) en la fórmula de integración por partes:

\[
\int x e^{x/4} \, dx = u v - \int v \, du
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\int x e^{x/4} \, dx = x \cdot 4 e^{x/4} - \int 4 e^{x/4} \, dx
\]

\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4x e^{x/4} - 4 \int e^{x/4} \, dx
\]

### Paso 4: Resolver la integral restante

Ya sabemos que:

\[
\int e^{x/4} \, dx = 4 e^{x/4}
\]

Entonces:

\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4x e^{x/4} - 4 (4 e^{x/4})
\]

\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4x e^{x/4} - 16 e^{x/4}
\]

### Paso 5: Añadir la constante de integración

Como es una integral indefinida, añadimos la constante de integración \( C \):

\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4x e^{x/4} - 16 e^{x/4} + C
\]

### Resultado final

La integral indefinida de la función \( f(x) = x e^{x/4} \) es:

\[
\int x e^{x/4} \, dx = 4x e^{x/4} - 16 e^{x/4} + C
\]

¿Te gustaría saber más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza la integración por partes para funciones trigonométricas?
2. ¿Qué otros métodos de integración existen y cuándo se utilizan?
3. ¿Cómo se puede resolver una integral definida usando integración por partes?
4. ¿Cómo afecta un cambio de variable a la integración por partes?
5. ¿Cuáles son los pasos para integrar productos de funciones exponenciales y polinomios?

**Tip:** Al elegir \( u \) en integración por partes, es útil escoger la función que se simplifica al derivarla.

Learn how to integrate the function f(x) = x e^(x/4) using integration by parts method. Step-by-step solution with detailed calculations and explanations. Suitable for university-level calculus students.

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