Determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto indicado, f(x)=x-(1/x) ; x0=1

Para determinar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la función \( f(x) = x - \frac{1}{x} \) en el punto \( x_0 = 1 \), sigamos los siguientes pasos:

### 1. Derivada de la función
Primero, necesitamos encontrar la derivada de \( f(x) \) para obtener la pendiente de la recta tangente en el punto dado.

\[
f(x) = x - \frac{1}{x}
\]

La derivada de \( f(x) \) es:

\[
f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}
\]

### 2. Evaluar la derivada en \( x_0 = 1 \)
Ahora, evaluamos la derivada en \( x_0 = 1 \) para encontrar la pendiente de la tangente:

\[
f'(1) = 1 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2
\]

La pendiente de la recta tangente en \( x_0 = 1 \) es \( m_{\text{tangente}} = 2 \).

### 3. Coordenadas del punto de tangencia
Ahora, determinamos el valor de \( f(1) \) para encontrar las coordenadas del punto en la curva:

\[
f(1) = 1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0
\]

Entonces, el punto de tangencia es \( (1, 0) \).

### 4. Ecuación de la recta tangente
La ecuación de la recta tangente tiene la forma \( y = mx + b \). Ya tenemos la pendiente \( m = 2 \) y el punto \( (1, 0) \).

Sustituyendo en la ecuación de la recta:

\[
y - 0 = 2(x - 1)
\]

Simplificando:

\[
y = 2x - 2
\]

### 5. Ecuación de la recta normal
La pendiente de la recta normal es la negativa del recíproco de la pendiente de la tangente. Por lo tanto, la pendiente de la recta normal es:

\[
m_{\text{normal}} = -\frac{1}{2}
\]

Usamos nuevamente la forma punto-pendiente \( y = mx + b \) con \( m = -\frac{1}{2} \) y el punto \( (1, 0) \):

\[
y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)
\]

Simplificando:

\[
y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\]

### Resumen
- La **ecuación de la recta tangente** es: \[ y = 2x - 2 \]
- La **ecuación de la recta normal** es: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la ecuación de la recta tangente para cualquier función en un punto dado?
2. ¿Qué relación existe entre la pendiente de la tangente y la normal?
3. ¿Qué representa geométricamente la derivada de una función en un punto?
4. ¿Cómo se deduce la ecuación de la normal en términos de la derivada?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una recta normal a una curva?

**Tip:** La derivada de una función en un punto no solo proporciona la pendiente de la tangente en ese punto, sino también información sobre el comportamiento local de la función.

Discover how to find the tangent and normal lines for the function f(x) = x - 1/x at the point x = 1. Step-by-step solution includes differentiation, point evaluation, and line equation derivation. Suitable for advanced high school and college-level mathematics.

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