la relación entre las bases de los siguientes rectángulos es de 4 a 1. si la razón entre sus perímetros es 2, ¿cuál es el área del rectángulo menor



Para resolver este problema, primero debemos usar la relación entre las bases de los rectángulos y la razón entre sus perímetros.

### Paso 1: Expresar las bases de los rectángulos
Dado que la relación entre las bases de los rectángulos es de 4 a 1, podemos definir las bases de los rectángulos de la siguiente manera:

- Base del rectángulo mayor: \( b_1 = 4x \)
- Base del rectángulo menor: \( b_2 = x \)

### Paso 2: Expresar las alturas de los rectángulos
Sea \( h_1 \) la altura del rectángulo mayor y \( h_2 \) la altura del rectángulo menor.

### Paso 3: Relación entre los perímetros
El perímetro de un rectángulo está dado por la fórmula:

\[
P = 2 \cdot (\text{base} + \text{altura})
\]

Entonces, los perímetros de los rectángulos serán:

- Perímetro del rectángulo mayor: \( P_1 = 2 \cdot (4x + h_1) \)
- Perímetro del rectángulo menor: \( P_2 = 2 \cdot (x + h_2) \)

Se nos dice que la razón entre los perímetros es 2:

\[
\frac{P_1}{P_2} = 2
\]

Sustituyendo las expresiones para \( P_1 \) y \( P_2 \):

\[
\frac{2 \cdot (4x + h_1)}{2 \cdot (x + h_2)} = 2
\]

Simplificando:

\[
\frac{4x + h_1}{x + h_2} = 2
\]

### Paso 4: Resolver para \( h_1 \) en términos de \( h_2 \)
Multiplicando ambos lados por \( x + h_2 \):

\[
4x + h_1 = 2(x + h_2)
\]

Expandiendo y simplificando:

\[
4x + h_1 = 2x + 2h_2
\]

Restando \( 2x \) de ambos lados:

\[
2x + h_1 = 2h_2
\]

Resolviendo para \( h_1 \):

\[
h_1 = 2h_2 - 2x
\]

### Paso 5: Calcular el área del rectángulo menor
El área de un rectángulo se calcula como:

\[
\text{Área} = \text{base} \times \text{altura}
\]

Para el rectángulo menor:

\[
\text{Área del rectángulo menor} = x \times h_2
\]

### Paso 6: Expresar \( h_2 \) en función de \( x \) y \( h_1 \)
Dado que no tenemos valores específicos, no podemos encontrar un valor numérico exacto para el área del rectángulo menor. Sin embargo, sabemos que \( h_1 \) y \( h_2 \) están relacionados por la ecuación \( h_1 = 2h_2 - 2x \). Por lo tanto, el área del rectángulo menor depende de

Explore how to solve a problem involving rectangles with a given ratio between their bases and perimeters. Understand the relationship between ratios, perimeters, and areas of rectangles with a step-by-step solution approach. Suitable for students in Grades 7-9.

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