Nos encontramos en la antigua y lejana tierra donde un arquero intenta defender la ciudad del ataque de un dragón. Desde una torre un arquero visualiza que se acerca el dragón e inmediatamente le lanza una flecha, con una velocidad inicial de 25 m/s y con una
inclinación de 30º respecto de la horizontal. Suponiendo g = 10 m/s
En el instante en que se dispara la flecha el dragón se encuentra volando, con una velocidad constante de 10 m/s en dirección horizontal hacia la torre, a 15 m por debajo del nivel del que se lanza la flecha y a una distancia horizontal de d =100 m.

d)	Demuestre, haciendo todos los cálculos que sean necesarios, que la flecha no va a impactar en el dragón.
e)	Determine a qué distancia horizontal d debería haber estado el dragón en el momento del disparo de manera de lograr que la flecha impacte en el dragón.



Vamos a resolver el problema en dos partes: 

1. **Demostrar que la flecha no impacta al dragón**.
2. **Determinar la distancia horizontal \( d \) para que la flecha impacte al dragón**.

### Parte d) Demostrar que la flecha no impacta en el dragón

#### Paso 1: Descomposición de la velocidad inicial
La velocidad inicial de la flecha (\( v_0 \)) es de 25 m/s con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Vamos a descomponer esta velocidad en sus componentes horizontal (\( v_{0x} \)) y vertical (\( v_{0y} \)):

\[
v_{0x} = v_0 \cdot \cos(30^\circ)
\]
\[
v_{0y} = v_0 \cdot \sin(30^\circ)
\]

Calculamos:

\[
v_{0x} = 25 \cdot \cos(30^\circ) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 21.65 \text{ m/s}
\]
\[
v_{0y} = 25 \cdot \sin(30^\circ) = 25 \cdot \frac{1}{2} = 12.5 \text{ m/s}
\]

#### Paso 2: Ecuaciones de movimiento
- **Movimiento horizontal:** \( x(t) = v_{0x} \cdot t \)
- **Movimiento vertical:** \( y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)

En el instante del impacto, la distancia horizontal recorrida por la flecha debe ser igual a la distancia \( d \) (100 m), y el tiempo \( t \) debe ser el mismo en ambos movimientos.

\[
x(t) = v_{0x} \cdot t = 100 \text{ m}
\]

Resolviendo para \( t \):

\[
t = \frac{100}{v_{0x}} = \frac{100}{21.65} \approx 4.62 \text{ s}
\]

#### Paso 3: Altura de la flecha en el instante \( t = 4.62 \) s
La altura de la flecha en \( t = 4.62 \) s:

\[
y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
\]

Sustituyendo los valores:

\[
y(4.62) = 12.5 \cdot 4.62 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (4.62)^2
\]

Calculamos:

\[
y(4.62) = 57.75 - 106.75 \approx -49 \text{ m}
\]

Esto significa que la flecha estaría a 49 metros por debajo del nivel de lanzamiento después de 4.62 segundos, lo que implica que no puede impactar al dragón que está solo 15 metros por debajo del nivel de la torre.

### Parte e) Determinar la distancia \( d \) para que la flecha impacte al dragón

Para que la flecha impacte al dragón, la altura \( y(t) \) debe ser exactamente 15 metros por debajo del nivel de lanzamiento.

\[
y(t) = -15 \text{ m}
\]

Sustituyendo en la ecuación vertical:

\[
-15 = 12.5 \cdot t - 5t^2
\]

Resolviendo esta ecuación cuadrática:

\[
5t^2 - 12.5t - 15 = 0
\]

Utilizando la fórmula cuadrática:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde:

- \( a = 5 \)
- \( b = -12.5 \)
- \( c = -15 \)

\[
t = \frac{12.5 \pm \sqrt{(-12.5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15)}}{2 \cdot 5}
\]

\[
t = \frac{12.5 \pm \sqrt{156.25 + 300}}{10}
\]

\[
t = \frac{12.5 \pm \sqrt{456.25}}{10}
\]

Calculamos:

\[
t = \frac{12.5 \pm 21.37}{10}
\]

\[
t \approx 3.39 \text{ s (tomamos la solución positiva)}
\]

Finalmente, para obtener la distancia horizontal \( d \):

\[
d = v_{0x} \cdot t \approx 21.65 \cdot 3.39 \approx 73.42 \text{ m}
\]

Por lo tanto, para que la flecha impacte al dragón, este debería estar a una distancia horizontal de aproximadamente **73.42 metros** en el momento del disparo.

---

¿Te gustaría que ampliemos algún detalle o tienes alguna otra pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo afecta la gravedad a la trayectoria de un proyectil?
2. ¿Qué otros factores podrían influir en la precisión de un disparo?
3. ¿Cómo se puede calcular el ángulo óptimo para alcanzar un objetivo a una distancia determinada?
4. ¿Qué ocurre si el dragón cambia su velocidad o trayectoria?
5. ¿Cómo cambia la trayectoria si se dispara desde una altura mayor?

**Tip:** Al resolver problemas de física, es crucial descomponer las fuerzas y velocidades en sus componentes horizontales y verticales.

Explore a physics problem involving projectile motion, where an archer attempts to shoot an arrow at a dragon approaching a tower. This detailed solution includes calculations of initial velocity, horizontal distance, and vertical displacement. Learn how gravity affects projectile trajectory. Suitable for high school students studying kinematics and vectors.

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