 Considere un sistema de ecuaciones de la forma Ax = b,
donde:
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 2 0 3
2 1 0 s
0 1 1 0
0 0 1 3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
b =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
t
1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(a) ¿Para qué valores de s y t el sistema tiene infinitas soluciones? Para estos valores,
describa completamente el conjunto solución del sistema;
(b) ¿Para qué valores de s y t el sistema posee solución única?

Dado el sistema de ecuaciones lineales de la forma \(Ax = b\), donde

\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 0 & s \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}, \quad
b =
\begin{pmatrix}
0 \\
t \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\]

tenemos que analizar las condiciones sobre los valores de \(s\) y \(t\) para que el sistema tenga infinitas soluciones o una única solución.

### (a) Valores de \(s\) y \(t\) para que el sistema tenga infinitas soluciones:

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, la matriz debe ser **singular**, es decir, el **determinante de la matriz A debe ser 0**. Vamos a calcular el determinante de \(A\):

\[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 0 & s \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{vmatrix}.
\]

Para calcular este determinante, podemos expandir por la primera fila:

\[
\det(A) = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 0 & s \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3
\end{vmatrix}
- 2 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 0 & s \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3
\end{vmatrix}.
\]

Vamos a calcular cada uno de los determinantes de las matrices \(3 \times 3\).

#### Primer determinante:

\[
\begin{vmatrix}
1 & 0 & s \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3
\end{vmatrix}
= 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
- 0 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3
\end{vmatrix}
+ s \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
\]

\[
= 1 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 0) + s \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)
= 3 + s.
\]

#### Segundo determinante:

\[
\begin{vmatrix}
2 & 0 & s \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3
\end{vmatrix}
= 2 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
- 0 \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 3
\end{vmatrix}
+ s \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
\]

\[
= 2 \cdot (1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) + s \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1)
= 6.
\]

Por lo tanto, el determinante de \(A\) es:

\[
\det(A) = 1 \cdot (3 + s) - 2 \cdot 6 = 3 + s - 12 = s - 9.
\]

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, necesitamos que \(\det(A) = 0\), es decir:

\[
s - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad s = 9.
\]

Entonces, el sistema tiene infinitas soluciones cuando \(s = 9\).

Ahora, debemos determinar el valor de \(t\) que permita que el sistema sea consistente (que no tenga contradicciones). Para ello, sustituimos \(s = 9\) en el sistema y verificamos si existe una solución compatible para cualquier valor de \(t\).

Sustituimos \(s = 9\) en la matriz \(A\), y obtenemos el sistema:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 0 & 9 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
t \\
1 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Resolvemos este sistema para describir el conjunto solución.

### (b) Valores de \(s\) y \(t\) para que el sistema tenga solución única:

Para que el sistema tenga solución única, el determinante de la matriz \(A\) debe ser diferente de 0. Como vimos anteriormente, \(\det(A) = s - 9\). Entonces, el sistema tendrá solución única cuando:

\[
s \neq 9.
\]

En este caso, para cualquier valor de \(t\), el sistema tendrá una única solución.

---

¿Te gustaría que resolviera el sistema para los valores específicos de \(s = 9\) y \(t\)? También puedo calcular el conjunto solución en esos casos.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede cuando \(t = 0\) en este sistema?
2. ¿Qué interpretaciones geométricas tienen los casos de infinitas soluciones y solución única?
3. ¿Cómo se resuelve el sistema por el método de eliminación de Gauss?
4. ¿Qué implicaciones tienen los valores de \(s\) en la estructura de la matriz \(A\)?
5. ¿Cómo podemos usar el método de la inversa de matrices para resolver este sistema?

### Tip:
Al resolver sistemas de ecuaciones, si el determinante de la matriz de coeficientes es 0, indica que el sistema es indeterminado o incompatible.

Considere un sistema de ecuaciones de la forma Ax = b, donde: A = ⎛ 1 2 0 3 2 1 0 s 0 1 1 0 0 0 1 3 ⎞, b = ⎛ 0 t 1 0 ⎞. (a) ¿Para qué valores de s y t el sistema tiene infinitas soluciones? Para estos valores, describa completamente el conjunto solución del sistema; (b) ¿Para qué valores de s y t el sistema posee solución única?

Explore how to solve a system of equations Ax = b with matrix determinants. Learn the conditions for infinite and unique solutions based on the values of s and t. Understand key concepts in linear algebra like determinants and system consistency, suitable for undergraduate students.

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