Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte
matriz aumentada:




1 2 1 −1
2 7 0 −1
1 8 −1 2
−2 2 −2 k





Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha so-
lução:

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
(I) Não sei

Para que o sistema linear representado pela matriz aumentada tenha solução, devemos garantir que o determinante da matriz dos coeficientes (a matriz sem a última coluna) não seja igual a zero. Isso ocorre porque, se o determinante for zero, o sistema será indeterminado ou inconsistente.

A matriz dos coeficientes é a seguinte:

\[
A = 
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 7 & 0 \\
1 & 8 & -1 \\
-2 & 2 & -2
\end{bmatrix}
\]

Precisamos calcular o determinante de \(A\) e encontrar o valor de \(k\) que garanta que ele seja diferente de zero.

Vamos calcular o determinante de \(A\) usando a regra de Sarrus (para matrizes \(3x3\)) ou a expansão por cofatores (para matrizes \(4x4\)).

\[
\det(A) = 
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 7 & 0 \\
1 & 8 & -1 \\
-2 & 2 & -2
\end{vmatrix}
\]

Agora, calculo o determinante.A matriz que temos é \(4x3\), o que significa que ela não é quadrada e não podemos calcular o determinante diretamente. Vamos corrigir o problema considerando apenas a parte quadrada da matriz, ou seja, a matriz formada pelos primeiros 3 elementos de cada linha.

Agora, tentarei calcular o determinante da submatriz \(3x3\).O determinante da submatriz \(3x3\) é aproximadamente \(6\). Como esse valor é diferente de zero, o sistema não será indeterminado ou inconsistente devido a essa parte da matriz.

Agora, para garantir que o sistema tenha solução, precisamos calcular o valor de \(k\) que torne o determinante da matriz completa \(4x4\) diferente de zero. Isso envolve calcular o determinante expandido da matriz com a quarta linha e a variável \(k\).

Vamos calcular esse determinante.Parece que cometi um erro ao tentar calcular o determinante da matriz aumentada sem a última coluna. Como a matriz original é \(4x4\), preciso calcular o determinante de toda a matriz quadrada, incluindo \(k\). Vou corrigir o cálculo agora.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

Would you like me to guide you through the steps for manually calculating the determinant and solving for \(k\)? 

Here are some related questions you could explore:
1. How do we calculate the determinant of a \(4x4\) matrix?
2. What are the conditions for a system of linear equations to have a unique solution?
3. How do we expand a matrix determinant by cofactors?
4. What happens if the determinant of the matrix is zero?
5. How do we handle variables like \(k\) in determinant equations?

**Tip:** Always ensure that the determinant of the coefficient matrix is non-zero to guarantee a unique solution for the system.

Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: 
[1 2 1 -1
2 7 0 -1
1 8 -1 2
-2 2 -2 k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
(I) Não sei

Discover how to solve a system of linear equations using the determinant of a matrix. This problem involves finding the correct value of k that ensures the system has a solution. Learn how to apply determinant rules and explore conditions for linear systems.

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