Considere a equação 3x − 6 = π + √2x em R. Determine a solução da equação.

A equação dada é:

\[
3x - 6 = \pi + \sqrt{2}x
\]

Vamos determinar a solução para \( x \) em \( \mathbb{R} \). Para isso, vamos isolar \( x \) na equação.

### Passo 1: Isolar os termos com \( x \)

Primeiro, subtraia \( \sqrt{2}x \) de ambos os lados da equação:

\[
3x - \sqrt{2}x - 6 = \pi
\]

### Passo 2: Agrupar os termos semelhantes

Combine os termos que contêm \( x \):

\[
(3 - \sqrt{2})x - 6 = \pi
\]

### Passo 3: Isolar o termo com \( x \)

Agora, adicione 6 a ambos os lados da equação:

\[
(3 - \sqrt{2})x = \pi + 6
\]

### Passo 4: Resolver para \( x \)

Divida ambos os lados por \( 3 - \sqrt{2} \) para isolar \( x \):

\[
x = \frac{\pi + 6}{3 - \sqrt{2}}
\]

Essa é a solução exata para \( x \). 

### Conclusão

Portanto, a solução da equação \( 3x - 6 = \pi + \sqrt{2}x \) em \( \mathbb{R} \) é:

\[
x = \frac{\pi + 6}{3 - \sqrt{2}}
\]

### Questões Relacionadas:
1. Qual é a solução aproximada de \( x \) para essa equação?
2. Como verificar se a solução encontrada é correta?
3. Como a diferença entre \( 3 \) e \( \sqrt{2} \) afeta o valor de \( x \)?
4. O que acontece com o valor de \( x \) se \( \pi \) for substituído por outro número?
5. Como essa solução pode ser representada geometricamente?

**Dica:** Ao resolver equações com números irracionais, como \( \pi \) e \( \sqrt{2} \), é útil deixar a resposta exata ou usar aproximações quando necessário.

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