Tenemos un consumidor con una función de utilidad U(A, B) = A^0.5 * B^0.5. Esto significa que la satisfacción del consumidor aumenta al consumir más de ambos bienes, pero con una tasa decreciente. El consumidor tiene una restricción presupuestaria: 4A + 5B = 16. Esto indica que el gasto total en ambos bienes debe ser igual a 16 dólares. Solución: Método de los Multiplicadores de Lagrange


Para resolver el problema de maximización de la utilidad del consumidor utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Definir la función objetivo y la restricción
La función de utilidad del consumidor es:

\[
U(A, B) = A^{0.5} \times B^{0.5}
\]

La restricción presupuestaria es:

\[
4A + 5B = 16
\]

### Paso 2: Definir la función de Lagrange
La función de Lagrange combina la función de utilidad y la restricción presupuestaria, añadiendo un multiplicador de Lagrange \(\lambda\) que pondera la restricción:

\[
\mathcal{L}(A, B, \lambda) = A^{0.5} \times B^{0.5} + \lambda (16 - 4A - 5B)
\]

### Paso 3: Derivar la función de Lagrange
Para encontrar los valores de \(A\), \(B\), y \(\lambda\) que maximizan la utilidad, tomamos las derivadas parciales de \(\mathcal{L}\) respecto a \(A\), \(B\) y \(\lambda\), y las igualamos a cero:

1. Derivada parcial respecto a \(A\):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A} = 0.5 \times A^{-0.5} \times B^{0.5} - 4\lambda = 0
\]

2. Derivada parcial respecto a \(B\):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial B} = 0.5 \times A^{0.5} \times B^{-0.5} - 5\lambda = 0
\]

3. Derivada parcial respecto a \(\lambda\):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 16 - 4A - 5B = 0
\]

### Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones
Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones:

1. \(\frac{0.5 \times B^{0.5}}{A^{0.5}} = 4\lambda\)
2. \(\frac{0.5 \times A^{0.5}}{B^{0.5}} = 5\lambda\)
3. \(4A + 5B = 16\)

Primero, podemos dividir la ecuación (1) por la ecuación (2) para eliminar \(\lambda\):

\[
\frac{\frac{0.5 \times B^{0.5}}{A^{0.5}}}{\frac{0.5 \times A^{0.5}}{B^{0.5}}} = \frac{4\lambda}{5\lambda}
\]

Simplificando:

\[
\frac{B}{A} = \frac{4}{5}
\]

Por lo tanto:

\[
B = \frac{4}{5}A
\]

### Paso 5: Sustituir en la restricción presupuestaria
Sustituimos \(B = \frac{4}{5}A\) en la restricción presupuestaria:

\[
4A + 5\left(\frac{4}{5}A\right) = 16
\]

Simplificando:

\[
4A + 4A = 16
\]

\[
8A = 16
\]

\[
A = 2
\]

### Paso 6: Encontrar el valor de \(B\)
Sustituyendo \(A = 2\) en \(B = \frac{4}{5}A\):

\[
B = \frac{4}{5} \times 2 = \frac{8}{5} = 1.6
\]

### Solución Final
El consumidor maximiza su utilidad consumiendo \(A = 2\) unidades del bien A y \(B = 1.6\) unidades del bien B.

### ¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo se deriva la condición de primer orden a partir de la función de Lagrange?
2. ¿Qué interpretación económica tiene el multiplicador de Lagrange \(\lambda\)?
3. ¿Cómo cambiaría la solución si el precio de A aumentara a 5?
4. ¿Qué ocurriría si la función de utilidad fuera \(U(A, B) = A^2 \times B^2\)?
5. ¿Cómo afecta un aumento en el ingreso a la cantidad óptima de bienes consumidos?

**Tip:** Siempre que uses el método de Lagrange, revisa si la función de utilidad tiene alguna particularidad (como rendimientos decrecientes) que puedas aprovechar en las derivaciones.

Learn how to maximize consumer utility using Lagrange multipliers with a detailed example problem. Solve for optimal values of goods A and B given a utility function and a budget constraint. Suitable for advanced undergraduate students and beyond.

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