Si  f(x)= 4x^2 - 5x en el intervalo [ 1, 1,6] ¿Cuál es x de la primera iteración con el método de bisección?

Pregunta 3Seleccione una:

a.
x= 1,3


b.
x=1,35


c.
x=1,32


d.
x=1,25

Para encontrar el valor de \( x \) en la primera iteración utilizando el método de bisección, necesitamos seguir estos pasos:

### Método de Bisección
El método de bisección es un proceso iterativo que busca encontrar una raíz de una función \( f(x) \) en un intervalo \([a, b]\) donde \( f(a) \) y \( f(b) \) tienen signos opuestos, lo que implica que existe al menos una raíz en ese intervalo.

1. **Determinar los extremos del intervalo inicial:**
   - \( a = 1 \)
   - \( b = 1.6 \)

2. **Calcular el punto medio del intervalo:**
   \[
   x_m = \frac{a + b}{2}
   \]

3. **Evaluar la función en el punto medio:**
   - Si \( f(x_m) = 0 \), entonces \( x_m \) es la raíz.
   - Si \( f(a) \) y \( f(x_m) \) tienen signos opuestos, entonces la raíz se encuentra en el intervalo \([a, x_m]\).
   - Si \( f(x_m) \) y \( f(b) \) tienen signos opuestos, entonces la raíz se encuentra en el intervalo \([x_m, b]\).

### Cálculo

1. **Calcular el punto medio \( x_m \):**
   \[
   x_m = \frac{1 + 1.6}{2} = \frac{2.6}{2} = 1.3
   \]

2. **Evaluar la función en los extremos y el punto medio:**
   \[
   f(x) = 4x^2 - 5x
   \]
   - \( f(1) = 4(1)^2 - 5(1) = 4 - 5 = -1 \)
   - \( f(1.6) = 4(1.6)^2 - 5(1.6) = 10.24 - 8 = 2.24 \)
   - \( f(1.3) = 4(1.3)^2 - 5(1.3) = 6.76 - 6.5 = 0.26 \)

En este caso, \( f(1) \) y \( f(1.3) \) tienen signos opuestos, lo que significa que la raíz está entre 1 y 1.3. 

Por lo tanto, el valor de \( x \) en la primera iteración es:

**Respuesta correcta:**
**a. \( x = 1.3 \)**

¿Tienes alguna pregunta adicional o necesitas más detalles sobre el método de bisección?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina el criterio de parada en el método de bisección?
2. ¿Qué sucede si \( f(a) \) y \( f(b) \) no tienen signos opuestos en el método de bisección?
3. ¿Cuántas iteraciones son necesarias para alcanzar una precisión dada en el método de bisección?
4. ¿Cómo se compara el método de bisección con el método de Newton-Raphson?
5. ¿Cuál es la principal ventaja del método de bisección en comparación con otros métodos numéricos?

**Tip:** El método de bisección es garantizado para converger si la función es continua y el intervalo inicial está correctamente elegido, pero puede ser más lento que otros métodos como Newton-Raphson.

Learn how to find the value of x in the first iteration using the bisection method on the function f(x) = 4x^2 - 5x in the interval [1, 1.6]. This problem involves applying the bisection method, evaluating quadratic functions, and determining the correct answer. Suitable for university-level students and anyone interested in numerical methods.

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