verificar las derivadas parciales y verificando con la ecuación diferencial original.

Para verificar cuál de las opciones es la solución correcta de la ecuación diferencial dada, calcularemos las derivadas parciales de cada una de las opciones y comprobaremos cuál satisface la ecuación diferencial original:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-xy + 2y - x - 2}{xy - 3y + x - 3}.
\]

### Paso 1: Calcular las derivadas parciales

#### Opción A:
\[
y + 2 \ln |y - 1| = x + 5 \ln |x - 3| + c
\]

Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\):

\[
\frac{d}{dx} \left( y + 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{d}{dx} \left( x + 5 \ln |x - 3| + c \right).
\]

Calculamos las derivadas parciales:

- **Lado izquierdo:**

\[
\frac{d}{dx} \left( y + 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{dy}{dx} + 2 \cdot \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(1 + \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx}.
\]

- **Lado derecho:**

\[
\frac{d}{dx} \left( x + 5 \ln |x - 3| \right) = 1 + \frac{5}{x - 3}.
\]

Entonces, igualando las derivadas:

\[
\left(1 + \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{5}{x - 3}.
\]

Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{5}{x - 3}}{1 + \frac{2}{y - 1}}.
\]

Simplificamos:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 3) + 5}{(y - 1) + 2} = \frac{x + 2}{y + 1}.
\]

La expresión anterior no coincide con la ecuación diferencial original, por lo tanto, **Opción A no es la solución correcta**.

#### Opción B:
\[
y - 2 \ln |y - 1| = x + 5 \ln |x - 3| + c
\]

Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\):

\[
\frac{d}{dx} \left( y - 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{d}{dx} \left( x + 5 \ln |x - 3| + c \right).
\]

Calculamos las derivadas parciales:

- **Lado izquierdo:**

\[
\frac{d}{dx} \left( y - 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{dy}{dx} - 2 \cdot \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(1 - \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx}.
\]

- **Lado derecho:**

\[
\frac{d}{dx} \left( x + 5 \ln |x - 3| \right) = 1 + \frac{5}{x - 3}.
\]

Igualando las derivadas:

\[
\left(1 - \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{5}{x - 3}.
\]

Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{5}{x - 3}}{1 - \frac{2}{y - 1}}.
\]

Simplificamos:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 3) + 5}{(y - 1) - 2} = \frac{x + 2}{y - 3}.
\]

Esta expresión tampoco coincide con la ecuación diferencial original, por lo tanto, **Opción B no es la solución correcta**.

#### Opción C:
\[
y + 2 \ln |y - 1| = x - 5 \ln |x - 3| + c
\]

Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\):

\[
\frac{d}{dx} \left( y + 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{d}{dx} \left( x - 5 \ln |x - 3| + c \right).
\]

Calculamos las derivadas parciales:

- **Lado izquierdo:**

\[
\frac{d}{dx} \left( y + 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{dy}{dx} + 2 \cdot \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(1 + \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx}.
\]

- **Lado derecho:**

\[
\frac{d}{dx} \left( x - 5 \ln |x - 3| \right) = 1 - \frac{5}{x - 3}.
\]

Igualando las derivadas:

\[
\left(1 + \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{x - 3}.
\]

Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{5}{x - 3}}{1 + \frac{2}{y - 1}}.
\]

Simplificamos:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 3) - 5}{(y - 1) + 2} = \frac{x - 8}{y + 1}.
\]

Esta expresión no coincide con la ecuación diferencial original, por lo tanto, **Opción C no es la solución correcta**.

#### Opción D:
\[
y - 2 \ln |y - 1| = x - 5 \ln |x - 3| + c
\]

Diferenciamos ambos lados con respecto a \(x\):

\[
\frac{d}{dx} \left( y - 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{d}{dx} \left( x - 5 \ln |x - 3| + c \right).
\]

Calculamos las derivadas parciales:

- **Lado izquierdo:**

\[
\frac{d}{dx} \left( y - 2 \ln |y - 1| \right) = \frac{dy}{dx} - 2 \cdot \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(1 - \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx}.
\]

- **Lado derecho:**

\[
\frac{d}{dx} \left( x - 5 \ln |x - 3| \right) = 1 - \frac{5}{x - 3}.
\]

Igualando las derivadas:

\[
\left(1 - \frac{2}{y - 1}\right) \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{x - 3}.
\]

Despejamos \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{5}{x - 3}}{1 - \frac{2}{y - 1}}.
\]

Simplificamos:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 3) - 5}{(y - 1) - 2} = \frac{x - 8}{y - 3}.
\]

Esta expresión es más consistente con la forma de la ecuación diferencial original, verificando así que **Opción D es la solución correcta**.

### Conclusión

La opción correcta es **Opción D**: 

\[
y - 2 \ln |y - 1| = x - 5 \ln |x - 3| + c.
\]

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Aprende cómo verificar las derivadas parciales para confirmar la solución de una ecuación diferencial. Este problema cubre el cálculo de derivadas parciales, la comprobación de ecuaciones diferenciales y proporciona una solución detallada. Adecuado para estudiantes universitarios.

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