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Resuelve los problemas y dame los resultados

Voy a resolver ambos problemas matemáticos a continuación:

### **Q5 Pregunta 3:**
Se nos da la ecuación general de la recta \( L1: 3y - 5x + 4 = 0 \) y las ecuaciones paramétricas de la recta \( L2 \), que son:

\[
x = 4 - 2t, \quad y = 1 + 3t
\]

Para determinar si las trayectorias son perpendiculares, paralelas o ninguna de las dos, analizamos la pendiente de ambas rectas.

- Para \( L1: 3y - 5x + 4 = 0 \), reescribimos la ecuación en forma pendiente-intersección (\(y = mx + b\)):
  
  \[
  3y = 5x - 4 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5}{3}x - \frac{4}{3}
  \]
  Por lo tanto, la pendiente de \( L1 \) es \( m_1 = \frac{5}{3} \).

- Para \( L2 \), dado que tenemos las ecuaciones paramétricas, la dirección de la recta es dada por los coeficientes de \( t \) en \( x \) y \( y \), que son \(-2\) y \(3\), respectivamente. Así, la pendiente de \( L2 \) es:
  
  \[
  m_2 = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}
  \]

Para determinar la relación entre las pendientes, verificamos si el producto de las pendientes es \( -1 \) (perpendicularidad) o si son iguales (paralelismo):

\[
m_1 \cdot m_2 = \frac{5}{3} \cdot -\frac{3}{2} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2} \neq -1
\]

Tampoco son iguales, por lo tanto, las rectas no son paralelas ni perpendiculares.

**Respuesta:** Ni perpendiculares ni paralelas.

### **Q6 Pregunta 1:**
Se pide calcular la distancia del punto \( P(4, 1, 5) \) al plano \( x + y - z = 0 \).

La fórmula para calcular la distancia de un punto \( P(x_1, y_1, z_1) \) a un plano \( ax + by + cz + d = 0 \) es:

\[
d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\]

Donde:
- \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \) y \( d = 0 \) son los coeficientes del plano \( x + y - z = 0 \),
- \( x_1 = 4 \), \( y_1 = 1 \), \( z_1 = 5 \) son las coordenadas del punto \( P(4, 1, 5) \).

Sustituimos en la fórmula:

\[
d = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 1 - 5|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0
\]

**Respuesta:** 0 (El punto está en el plano).

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrían ayudarte a entender mejor estos conceptos:

1. ¿Cómo se determina la pendiente de una recta a partir de una ecuación general?
2. ¿Cómo se deducen las direcciones de una recta a partir de sus ecuaciones paramétricas?
3. ¿Qué significa que dos rectas no sean paralelas ni perpendiculares?
4. ¿Cómo se puede derivar la fórmula de distancia desde un punto a un plano?
5. ¿Qué representa geométricamente una distancia de 0 entre un punto y un plano?

**Tip:** Si las pendientes de dos rectas son negativas recíprocas, esto significa que las rectas son perpendiculares.

Q5 Pregunta 3: En un plano XY se observa el movimiento de dos objetos, los cuales tienen una trayectoria de línea recta, el primer objeto es modelado por la ecuación general de la recta L1: 3y - 5x + 4 = 0 y el segundo por las ecuaciones paramétricas de la recta L2: x = 4 - 2t y y = 1 + 3t. La trayectoria de uno de los objetos con respecto a la trayectoria del otro objeto es: perpendicular pero no paralelo, perpendicular y paralelo, paralelo pero no perpendicular, ni perpendicular ni paralelo.
Q6 Pregunta 1: La distancia del punto P(4, 1, 5) al plano x + y - z = 0 es: 2, -1, 0, 1

Solve two problems: determine if two lines in the XY plane are parallel, perpendicular, or neither, and calculate the distance from the point P(4, 1, 5) to the plane x + y - z = 0. This problem includes concepts of analytic geometry, slopes, and distance formulas.

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