Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Para resolver este problema, necesitamos encontrar dos cosas:

1. **La distancia entre la recta paralela a** \(-3x + 4y = -5\) **que pasa por el punto** \((-1, -1)\) **y el punto de intersección de las rectas** \(-7x + 2y = 4\) **y** \(2x - 8y = -1\).

### Paso 1: Ecuación de la recta paralela
La ecuación de la recta que buscamos será paralela a \(-3x + 4y = -5\). Como ambas son paralelas, tendrán la misma pendiente. Primero, transformemos esta ecuación a la forma pendiente-intersección.

\[
-3x + 4y = -5 \quad \Rightarrow \quad 4y = 3x - 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

Esto nos indica que la pendiente es \(\frac{3}{4}\).

Ahora, utilizamos la ecuación de la recta punto-pendiente, ya que la recta que buscamos pasa por el punto \((-1, -1)\) y tiene pendiente \(\frac{3}{4}\):

\[
y - (-1) = \frac{3}{4}(x - (-1)) \quad \Rightarrow \quad y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]
\[
y = \frac{3}{4}(x + 1) - 1
\]
Expandiendo:
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} - 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]
Multiplicamos por 4 para dejarla en la forma general:
\[
4y = 3x - 1 \quad \Rightarrow \quad 3x - 4y = 1
\]

Esta es la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto \((-1, -1)\).

### Paso 2: Encontrar el punto de intersección de las rectas \(-7x + 2y = 4\) y \(2x - 8y = -1\)

Para encontrar el punto de intersección, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por:

\[
\begin{aligned}
-7x + 2y &= 4 \\
2x - 8y &= -1
\end{aligned}
\]

Multiplicamos la primera ecuación por 4 para eliminar el término \(y\) cuando sumemos las ecuaciones:

\[
-28x + 8y = 16
\]

Sumamos esta ecuación con la segunda:

\[
(-28x + 8y) + (2x - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos el valor de \(x\) en la primera ecuación para encontrar \(y\):

\[
-7\left(-\frac{15}{26}\right) + 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{105}{26} + 2y = 4
\]
\[
2y = 4 - \frac{105}{26} = \frac{104}{26} - \frac{105}{26} = -\frac{1}{26}
\]
\[
y = -\frac{1}{52}
\]

Por lo tanto, el punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 3: Distancia entre la recta y el punto
La fórmula para la distancia de un punto \(P(x_1, y_1)\) a una recta \(Ax + By + C = 0\) es:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Aplicamos esto a la recta \(3x - 4y = 1\) y al punto de intersección \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\):

\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{4}{52} - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{2}{26} - \frac{26}{26}|}{5}
\]
\[
d = \frac{|-\frac{69}{26}|}{5} = \frac{69}{26 \times 5} = \frac{69}{130} \approx 0.531
\]

### Resultado final:
La distancia entre la recta y el punto es aproximadamente \(0.531\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta paralela a otra?
2. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?
3. ¿Qué propiedades tienen las rectas paralelas?
4. ¿Qué representa la pendiente en la ecuación de una recta?
5. ¿Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta?

### Tip:
Recuerda que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, lo cual facilita encontrar ecuaciones de rectas paralelas.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Learn how to calculate the distance between a line parallel to -3x+4y=-5 that passes through (-1, -1) and the intersection point of -7x+2y=4 and 2x-8y=-1. The solution uses concepts such as parallel lines, systems of equations, and point-line distance formulas. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation