Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: 
A (2,-2,3); B (1,-2,0) y C (4,2,-1)

Para calcular el área de un triángulo cuyos vértices son puntos en el espacio tridimensional, podemos usar la fórmula basada en el producto vectorial de dos vectores que representan los lados del triángulo. El área del triángulo es la mitad de la magnitud del producto vectorial de esos dos vectores.

Los vértices dados son:
- \( A(2, -2, 3) \)
- \( B(1, -2, 0) \)
- \( C(4, 2, -1) \)

### Paso 1: Encontrar los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{AC} \)
- \( \vec{AB} = B - A = (1 - 2, -2 - (-2), 0 - 3) = (-1, 0, -3) \)
- \( \vec{AC} = C - A = (4 - 2, 2 - (-2), -1 - 3) = (2, 4, -4) \)

### Paso 2: Calcular el producto vectorial \( \vec{AB} \times \vec{AC} \)
El producto vectorial de dos vectores \( \vec{AB} = (-1, 0, -3) \) y \( \vec{AC} = (2, 4, -4) \) es:

\[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & 4 & -4 \end{vmatrix}
\]

Calculamos el determinante:

\[
\vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}
\]

\[
= \mathbf{i} (0 \cdot (-4) - (-3) \cdot 4) - \mathbf{j} ((-1) \cdot (-4) - (-3) \cdot 2) + \mathbf{k} ((-1) \cdot 4 - 0 \cdot 2)
\]

\[
= \mathbf{i} (12) - \mathbf{j} (4 + 6) + \mathbf{k} (-4)
\]

\[
= 12\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 4\mathbf{k}
\]

Por lo tanto, el producto vectorial es \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (12, -10, -4) \).

### Paso 3: Calcular la magnitud del producto vectorial
La magnitud del vector \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (12, -10, -4) \) es:

\[
|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{12^2 + (-10)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 100 + 16} = \sqrt{260}
\]

\[
|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{260} \approx 16.12
\]

### Paso 4: Calcular el área del triángulo
El área del triángulo es la mitad de la magnitud del producto vectorial:

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \times 16.12 \approx 8.06
\]

Por lo tanto, el área del triángulo es aproximadamente \( 8.06 \) unidades cuadradas.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede usar el producto escalar para resolver problemas en geometría tridimensional?
2. ¿Qué otros métodos existen para calcular el área de un triángulo en 3D?
3. ¿Cómo se utiliza el determinante para el cálculo de áreas y volúmenes?
4. ¿Qué relación tiene el producto vectorial con la geometría del espacio?
5. ¿Qué propiedades tiene el producto vectorial que son útiles en física y geometría?

**Tip:** En geometría tridimensional, el producto vectorial no solo te ayuda a calcular áreas, sino también la dirección perpendicular al plano formado por dos vectores.

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A (2,-2,3); B (1,-2,0) y C (4,2,-1)

Aprende a calcular el área de un triángulo en el espacio tridimensional, con vértices en A(2,-2,3), B(1,-2,0), y C(4,2,-1), utilizando el producto vectorial. Este problema incluye conceptos de geometría y álgebra vectorial, como el cálculo de determinantes y magnitudes de vectores. Apropiado para estudiantes de grados 11-12.

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