Hacer paso a paso y detalladamente las matrices de los rayos del siguiente Interferometer. De un Diodenlaser se emite un rayo de luz con la Wellenlänge de 632,8 nm. El rayo llega a un divisor de haz a una distancia de 56,45cm del laser. El divisor de haz esta inclinado 56° y tiene un indice de refraccion de 1,5. El rayo se transmite hasta llegar a un espejo a una distancia de 13,05cm del divisor de haz. El rayo se refleja y regresa al divisor de haz, reflejando el rayo a un segundo espejo a una distancia de 27cm. El rayo se refleja en el espejo regresando al divisor de haz. 

Hacer cada matriz y al final la sistema de matrices, con los datos y dando resultaods. Todo paso a paso y detalladamente. 

Para resolver este problema paso a paso y detalladamente, utilizaremos el método de matrices ABCD (o matriz de transferencia) para rastrear el rayo a través del interferómetro. Este método es muy útil en óptica para describir cómo se propaga un rayo a través de sistemas ópticos que incluyen espejos, lentes y divisores de haz. Vamos a descomponer el problema y construir las matrices una por una.

### Paso 1: Definir el sistema y sus componentes

1. **Diodo láser:** Emite un rayo con longitud de onda de \( \lambda = 632.8 \, \text{nm} \).
2. **Divisor de haz:** Está a una distancia de 56.45 cm del láser. El divisor de haz está inclinado a \( 56^\circ \) y tiene un índice de refracción \( n = 1.5 \).
3. **Espejo 1:** Se encuentra a una distancia de 13.05 cm del divisor de haz.
4. **Espejo 2:** A una distancia de 27 cm del divisor de haz.
5. **Matriz final:** Nos interesa encontrar la matriz ABCD del sistema completo que describe la propagación del rayo desde el láser, pasando por el divisor de haz, hasta los espejos y regresando.

### Paso 2: Matrices ABCD básicas

Para poder construir el sistema completo, necesitamos definir las matrices básicas utilizadas en óptica:

1. **Matriz de propagación libre** (a través de una distancia \( d \)):

   \[
   M_{\text{prop}} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
   \]
   
   Aquí \( d \) es la distancia en metros que recorre el rayo.

2. **Matriz de reflexión por un espejo plano**:

   \[
   M_{\text{reflexión}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
   \]
   
   Esta matriz es la identidad, ya que un espejo plano no altera las propiedades del rayo en términos de ángulo o desplazamiento.

3. **Matriz para un divisor de haz**:

   El divisor de haz inclinado y con un índice de refracción implica que necesitamos tratar dos aspectos:
   - La **transmisión** del rayo a través del divisor.
   - La **reflexión** del rayo desde el divisor.
   
   Si el divisor tiene un índice de refracción \( n \) y está inclinado a \( \theta = 56^\circ \), debemos aplicar las leyes de refracción de Snell para determinar el ángulo transmitido y reflejado, pero las matrices ABCD para divisores de haz ideales se aproximan como matrices de transmisión:

   \[
   M_{\text{transmisión}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix}
   \]
   
   para el rayo transmitido, donde \( n \) es el índice de refracción del divisor de haz.

### Paso 3: Calcular cada etapa del recorrido del rayo

#### 3.1. Propagación desde el láser hasta el divisor de haz

La distancia entre el láser y el divisor de haz es \( d_1 = 56.45 \, \text{cm} = 0.5645 \, \text{m} \). Usamos la matriz de propagación libre:

\[
M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0.5645 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.2. Transmisión a través del divisor de haz

El divisor de haz tiene un índice de refracción \( n = 1.5 \), por lo que usamos la matriz de transmisión para el rayo transmitido:

\[
M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1.5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.6667 \end{pmatrix}
\]

#### 3.3. Propagación del rayo hasta el espejo 1

La distancia entre el divisor de haz y el espejo 1 es \( d_2 = 13.05 \, \text{cm} = 0.1305 \, \text{m} \). Usamos nuevamente la matriz de propagación libre:

\[
M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0.1305 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.4. Reflexión en el espejo 1

Como el espejo es plano, la matriz de reflexión es la identidad:

\[
M_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.5. Regreso al divisor de haz (desde el espejo 1)

El rayo viaja de regreso a través de la misma distancia \( d_2 = 0.1305 \, \text{m} \), así que la matriz de propagación es idéntica a la anterior:

\[
M_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0.1305 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.6. Reflexión en el divisor de haz

Para la reflexión, usamos nuevamente la matriz de transmisión con el índice de refracción del divisor de haz:

\[
M_6 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.6667 \end{pmatrix}
\]

#### 3.7. Propagación hacia el espejo 2

La distancia entre el divisor de haz y el espejo 2 es \( d_3 = 27 \, \text{cm} = 0.27 \, \text{m} \). Usamos la matriz de propagación:

\[
M_7 = \begin{pmatrix} 1 & 0.27 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.8. Reflexión en el espejo 2

La matriz de reflexión es nuevamente la identidad:

\[
M_8 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

#### 3.9. Regreso al divisor de haz (desde el espejo 2)

El rayo viaja de regreso al divisor a través de \( d_3 = 0.27 \, \text{m} \), así que la matriz de propagación es:

\[
M_9 = \begin{pmatrix} 1 & 0.27 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Multiplicar las matrices

El sistema completo del rayo se describe multiplicando todas las matrices en el orden en que el rayo pasa por cada componente:

\[
M_{\text{total}} = M_9 M_8 M_7 M_6 M_5 M_4 M_3 M_2 M_1
\]

Voy a realizar este cálculo para obtener la matriz final del sistema.La matriz ABCD total del sistema completo del interferómetro es:

\[
M_{\text{total}} = \begin{pmatrix} 1 & 0.9785 \\ 0 & 0.4445 \end{pmatrix}
\]

### Interpretación:

1. El elemento \( A = 1 \) indica que la curvatura del frente de onda del rayo no cambia a lo largo del sistema óptico.
2. El elemento \( B = 0.9785 \) (en metros) representa la distancia efectiva recorrida por el rayo dentro del sistema.
3. El elemento \( D = 0.4445 \) refleja el cambio en el ángulo del rayo debido a los componentes del sistema, incluyendo la transmisión y la reflexión a través del divisor de haz.

### Conclusión:

Este resultado describe cómo el rayo de luz se propaga a través del sistema de interferometría, teniendo en cuenta las distancias recorridas, las reflexiones en los espejos, y la influencia del divisor de haz.

¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el índice de refracción a la matriz total en sistemas ópticos?
2. ¿Qué pasaría si el ángulo del divisor de haz cambiara?
3. ¿Cómo se altera el sistema si la distancia entre los espejos se modifica?
4. ¿Cómo se calculan las matrices ABCD para lentes esféricas?
5. ¿Qué otros métodos se pueden usar para estudiar interferómetros?

**Tip:** Las matrices ABCD son especialmente útiles en óptica gaussiana para analizar sistemas compuestos de múltiples componentes como lentes y espejos.

Hacer paso a paso y detalladamente las matrices de los rayos del siguiente Interferometer. De un Diodenlaser se emite un rayo de luz con la Wellenlänge de 632,8 nm. El rayo llega a un divisor de haz a una distancia de 56,45cm del laser. El divisor de haz esta inclinado 56° y tiene un indice de refraccion de 1,5. El rayo se transmite hasta llegar a un espejo a una distancia de 13,05cm del divisor de haz. El rayo se refleja y regresa al divisor de haz, reflejando el rayo a un segundo espejo a una distancia de 27cm. El rayo se refleja en el espejo regresando al divisor de haz.

Learn how to calculate the ray matrices for an interferometer with a 632.8 nm diode laser, a beam splitter with a refractive index of 1.5, and mirrors placed at specific distances. This detailed guide covers optical matrices using the ABCD method, including free space propagation, reflection, and transmission matrices.

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