Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Para resolver este problema, vamos a desglosarlo en varios pasos:

### Paso 1: Encontrar la ecuación de la recta paralela que pasa por \((-1, -1)\)

La ecuación de la recta dada es:

\[
-3x + 4y = -5
\]

Esta es una forma general de la ecuación de la recta, pero la queremos en la forma pendiente-intersección (\(y = mx + b\)). Primero despejamos \(y\):

\[
4y = 3x - 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

La pendiente (\(m\)) de esta recta es \( \frac{3}{4} \). Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la recta paralela que buscamos también tiene una pendiente de \( \frac{3}{4} \).

Ahora usamos la fórmula de la ecuación de la recta en pendiente-intersección (\(y = mx + b\)) para encontrar la ecuación de la recta que pasa por \((-1, -1)\):

\[
y = mx + b
\]

Sustituyendo \(m = \frac{3}{4}\) y el punto \((-1, -1)\):

\[
-1 = \frac{3}{4}(-1) + b
\]
\[
-1 = -\frac{3}{4} + b
\]
\[
b = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela es:

\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

### Paso 2: Encontrar el punto de intersección de las rectas \( -7x + 2y = 4 \) y \( 2x - 8y = -1 \)

Para encontrar el punto de intersección, resolvemos el sistema de ecuaciones:

1. \( -7x + 2y = 4 \)
2. \( 2x - 8y = -1 \)

Primero multiplicamos la segunda ecuación por 4 para alinear los coeficientes de \(y\):

\[
8x - 32y = -4
\]

Ahora sumamos las dos ecuaciones:

\[
(-7x + 2y) + (8x - 32y) = 4 + (-4)
\]
\[
x - 30y = 0
\]
\[
x = 30y
\]

Sustituimos \(x = 30y\) en la primera ecuación \( -7x + 2y = 4 \):

\[
-7(30y) + 2y = 4
\]
\[
-210y + 2y = 4
\]
\[
-208y = 4
\]
\[
y = -\frac{4}{208} = -\frac{1}{52}
\]

Ahora, sustituimos \(y = -\frac{1}{52}\) en \(x = 30y\):

\[
x = 30\left(-\frac{1}{52}\right) = -\frac{30}{52} = -\frac{15}{26}
\]

Por lo tanto, el punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 3: Encontrar la distancia entre la recta paralela y el punto de intersección

La fórmula para la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta \(Ax + By + C = 0\) es:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

La ecuación de la recta que obtuvimos en el Paso 1 es \( \frac{3}{4}x - y - \frac{1}{4} = 0 \), que podemos reescribir como \( 3x - 4y - 1 = 0 \).

Sustituimos el punto \( \left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right) \) en la fórmula:

\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]
\[
d = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{4}{52} - 1|}{\sqrt{9 + 16}}
\]
\[
d = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{2}{26} - 1|}{\sqrt{25}} = \frac{|-1.65|}{5} = \frac{1.65}{5} = 0.33
\]

### Resultado final:

La distancia entre la recta paralela y el punto de intersección es aproximadamente \( 0.33 \) unidades.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta a partir de su ecuación general?
2. ¿Qué métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula para la distancia entre un punto y una recta?
4. ¿Qué relación tienen las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares?
5. ¿Cómo se puede verificar si un punto pertenece a una recta?

### Tip:
Para simplificar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es útil emplear sustitución o eliminación, dependiendo de cuál facilite más las operaciones algebraicas.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Find the distance between a line parallel to -3x+4y=-5 through the point (-1, -1), and the intersection of the lines -7x+2y=4 and 2x-8y=-1. This problem involves key concepts in analytic geometry, including line equations, systems of equations, and distance calculations. Suitable for students in Grades 10-12.

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