rango de la siguiente Función Asignada: f(x)=( x)/(x^2-49) solución del ejercicio paso a paso

Para encontrar el **rango** de la función asignada \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 49} \), seguimos un proceso paso a paso:

### Paso 1: **Determinar el Dominio de la Función**

Primero, identificamos dónde la función no está definida, es decir, dónde el denominador se anula:

\[
x^2 - 49 = 0
\]

Esto es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar como:

\[
(x - 7)(x + 7) = 0
\]

De aquí obtenemos las soluciones:

\[
x = 7 \quad \text{y} \quad x = -7
\]

Por lo tanto, el dominio de la función es:

\[
D_f = \mathbb{R} \setminus \{-7, 7\}
\]

### Paso 2: **Reescribir la Función**

La función se puede escribir como:

\[
f(x) = \frac{x}{(x - 7)(x + 7)}
\]

### Paso 3: **Análisis del Comportamiento en los Extremos**

Para encontrar el rango, es útil estudiar el comportamiento de la función cuando \(x\) toma valores grandes (tanto positivos como negativos) y cercanos a las discontinuidades \(x = 7\) y \(x = -7\).

- Cuando \(x\) tiende a \( +\infty \) o \( -\infty \), el término dominante en el denominador es \(x^2\), por lo que:

\[
f(x) \approx \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}
\]

A medida que \(x\) tiende a infinito o menos infinito, \(f(x) \to 0\), pero **nunca llega a 0**.

- Ahora veamos qué pasa cerca de las discontinuidades:
  - Para \(x \to 7^+\), el denominador se acerca a cero positivo, y el numerador se acerca a \(7\), por lo que \(f(x) \to +\infty\).
  - Para \(x \to 7^-\), el denominador se acerca a cero negativo, y el numerador sigue siendo cercano a \(7\), por lo que \(f(x) \to -\infty\).

Lo mismo ocurre para \(x = -7\):
  - Para \(x \to -7^+\), \(f(x) \to +\infty\).
  - Para \(x \to -7^-\), \(f(x) \to -\infty\).

### Paso 4: **Resolver la Ecuación para Encontrar el Rango**

Sabemos que \(f(x) \to 0\) cuando \(x \to \pm\infty\), pero nunca es igual a 0. También observamos que para valores de \(x\) cercanos a las discontinuidades \(x = 7\) y \(x = -7\), la función toma valores extremadamente grandes, tanto positivos como negativos.

Para explorar si existen restricciones adicionales en el rango, podemos resolver la ecuación \(y = \frac{x}{x^2 - 49}\) para \(x\). Multiplicamos ambos lados por el denominador para obtener:

\[
y(x^2 - 49) = x
\]

\[
yx^2 - 49y = x
\]

Reorganizamos la ecuación en forma de cuadrática:

\[
yx^2 - x - 49y = 0
\]

Utilizamos la fórmula general para resolver esta cuadrática:

\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(y)(-49y)}}{2y}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 196y^2}}{2y}
\]

Para que \(x\) sea un número real, el discriminante \(1 + 196y^2\) debe ser mayor o igual a 0, lo cual es siempre cierto. Por lo tanto, no hay restricciones adicionales en \(y\), salvo que \(y \neq 0\) (ya que la función nunca toma el valor 0).

### Paso 5: **Conclusión del Rango**

El rango de la función es todo el conjunto de números reales excepto el valor 0, ya que la función nunca alcanza \(f(x) = 0\).

\[
R_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}
\]

---

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más el tema:

1. ¿Cómo afecta la discontinuidad en \(x = 7\) y \(x = -7\) al gráfico de la función?
2. ¿Cómo se determina el dominio de una función más compleja con raíces cuadráticas en el denominador?
3. ¿Cuál es la importancia de la fórmula cuadrática en la determinación del rango?
4. ¿Qué sucede si el numerador de la función es una constante en lugar de una función de \(x\)?
5. ¿Cómo se calculan los límites de funciones con discontinuidades removibles?

**Tip**: Para identificar el rango de una función, observar el comportamiento en los extremos y discontinuidades suele ser clave.

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