determinar su comprobación analíticamente: a. Tipo de función b. Dominio y rango: 𝑓(𝑥) = x/(x al cuadrado - 49)

Vamos a determinar analíticamente la comprobación de la función 𝑓(𝑥) = \(\frac{x}{x^2 - 49}\).

### a. Tipo de función:
La función que tenemos es una **función racional**. Una función racional se expresa como el cociente de dos polinomios, es decir, tiene la forma:

\[
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
\]

En este caso, \( P(x) = x \) y \( Q(x) = x^2 - 49 \).

### b. Dominio y rango:
#### Dominio:
El dominio de una función racional está dado por todos los valores de \( x \) para los que el denominador no sea igual a cero, porque no es posible dividir entre cero. Para encontrar los valores donde el denominador se anula, resolvemos:

\[
x^2 - 49 = 0
\]

Esto es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar de la siguiente forma:

\[
(x - 7)(x + 7) = 0
\]

Entonces, el denominador se anula cuando \( x = 7 \) o \( x = -7 \).

Por lo tanto, el **dominio** de la función es:

\[
D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-7, 7\}
\]

Es decir, todos los números reales excepto \( x = 7 \) y \( x = -7 \), ya que en estos puntos el denominador se hace cero.

#### Rango:
Para encontrar el **rango**, analizamos cómo se comporta la función. En este caso, como la función es racional, no toma el valor \( f(x) = 0 \) en ningún punto, porque el numerador es lineal \( x \), y el denominador es cuadrático \( x^2 - 49 \). Además, la función tiene asíntotas verticales en \( x = -7 \) y \( x = 7 \), donde la función tiende hacia infinito.

Notemos que la función puede tomar cualquier valor real, excepto \( f(x) = 0 \). Esto es porque si \( f(x) = 0 \), el numerador debería ser cero, lo cual ocurre solo cuando \( x = 0 \), pero en ese caso el denominador \( x^2 - 49 = -49 \), lo que significa que \( f(0) = 0 \) no está excluido.

Por lo tanto, el **rango** de la función es:

\[
R(f) = \mathbb{R}
\]

### Resumen:
- **Tipo de función:** Función racional
- **Dominio:** \( \mathbb{R} \setminus \{-7, 7\} \)
- **Rango:** \( \mathbb{R} \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentran las asíntotas de esta función?
2. ¿Qué sucede con el comportamiento de la función en los extremos?
3. ¿Cómo se representa gráficamente una función racional como esta?
4. ¿Cómo afecta la forma del denominador a los puntos críticos de la función?
5. ¿Cuáles son los límites laterales en los puntos de discontinuidad?

**Tip:** Cuando resuelvas dominios de funciones racionales, siempre asegúrate de que el denominador no sea cero.

Determinar su comprobación analíticamente: a. Tipo de función b. Dominio y rango: 𝑓(𝑥) = x/(x^2 - 49)

Explore the domain and range of the rational function f(x) = x/(x^2 - 49). Learn how to identify the type of function, find the domain through factorization, and understand the behavior of rational functions with asymptotes. Suitable for students in Grades 10-12.

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