 Suponga que n es un entero impar. Demuestre que n2 +n es par.

Dado que \( n \) es un entero impar, podemos escribir \( n \) como \( n = 2k + 1 \), donde \( k \) es un número entero.

Ahora, consideremos la expresión \( n^2 + n \):

\[
n^2 + n = (2k + 1)^2 + (2k + 1)
\]

Primero, expandamos \( (2k + 1)^2 \):

\[
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
\]

Entonces:

\[
n^2 + n = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 4k^2 + 6k + 2
\]

Podemos factorizar el resultado:

\[
n^2 + n = 2(2k^2 + 3k + 1)
\]

Dado que \( 2k^2 + 3k + 1 \) es un entero, \( n^2 + n \) es claramente divisible por 2, lo que implica que es un número par.

**Conclusión:** Hemos demostrado que \( n^2 + n \) es par para cualquier entero impar \( n \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se podría modificar la demostración si \( n \) fuera un número par?
2. ¿Qué sucede con \( n^2 - n \) si \( n \) es un número impar?
3. ¿Cómo demostrarías que \( n^2 + n \) es impar cuando \( n \) es par?
4. ¿Qué otras expresiones similares a \( n^2 + n \) son siempre pares cuando \( n \) es impar?
5. ¿Podrías extender este resultado para una secuencia de números enteros impares consecutivos?

**Tip:** Para cualquier número impar, su cuadrado es siempre impar, y la suma de un número impar con otro impar es siempre par.

Explore the mathematical proof that n^2 + n is always even when n is an odd integer. This problem involves number theory and the concept of parity in mathematics. Suitable for advanced high school students and beyond.

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