Se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 30m de altura a una velocidad de 40m/s por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede ser modelada por la ecuación 
H(t)=−12t2+60t+40.  
H
t
=
−
12
t
2
+
60
t
+
40
.
 
 
 
Determine:  

¿Cuándo alcanza la bola la altura máxima? 
¿Cuál es la altura máxima de la pelota? 
¿Cuándo choca la pelota contra el suelo?

Tenemos la ecuación de la altura de la pelota en función del tiempo \( t \):
\[
H(t) = -12t^2 + 60t + 40
\]

Esta es una ecuación cuadrática de la forma general:
\[
H(t) = at^2 + bt + c
\]
donde:
- \( a = -12 \)
- \( b = 60 \)
- \( c = 40 \)

### 1. ¿Cuándo alcanza la bola la **altura máxima**?

La altura máxima de una parábola (en este caso la trayectoria de la pelota) ocurre en el **vértice** de la parábola. El tiempo en el que se alcanza el vértice está dado por la fórmula:
\[
t_{\text{máx}} = \frac{-b}{2a}
\]

Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \):
\[
t_{\text{máx}} = \frac{-60}{2(-12)} = \frac{-60}{-24} = 2.5 \, \text{segundos}
\]

Por lo tanto, la pelota alcanza la **altura máxima** a los **2.5 segundos**.

### 2. ¿Cuál es la **altura máxima** de la pelota?

Ahora que sabemos que la pelota alcanza su altura máxima en \( t = 2.5 \) segundos, sustituimos este valor en la ecuación \( H(t) \) para encontrar la altura máxima:

\[
H(2.5) = -12(2.5)^2 + 60(2.5) + 40
\]

Calculamos cada término:

\[
H(2.5) = -12(6.25) + 150 + 40
\]
\[
H(2.5) = -75 + 150 + 40
\]
\[
H(2.5) = 115 \, \text{metros}
\]

La **altura máxima** de la pelota es **115 metros**.

### 3. ¿Cuándo choca la pelota contra el suelo?

La pelota choca contra el suelo cuando su altura \( H(t) \) es igual a 0. Esto ocurre cuando resolvemos la ecuación cuadrática:

\[
-12t^2 + 60t + 40 = 0
\]

Podemos aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde:
- \( a = -12 \)
- \( b = 60 \)
- \( c = 40 \)

Sustituimos los valores en la fórmula:

\[
t = \frac{-60 \pm \sqrt{60^2 - 4(-12)(40)}}{2(-12)}
\]
\[
t = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 1920}}{-24}
\]
\[
t = \frac{-60 \pm \sqrt{5520}}{-24}
\]

Calculamos la raíz cuadrada:
\[
t = \frac{-60 \pm 74.3}{-24}
\]

Obtenemos dos soluciones:

1. \( t_1 = \frac{-60 + 74.3}{-24} = \frac{14.3}{-24} \approx -0.6 \) (descartamos porque el tiempo no puede ser negativo).
2. \( t_2 = \frac{-60 - 74.3}{-24} = \frac{-134.3}{-24} \approx 5.6 \)

Por lo tanto, la pelota choca contra el suelo a los **5.6 segundos**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambia la altura máxima si la velocidad inicial fuera diferente?
2. ¿Cómo podríamos obtener el tiempo de impacto sin usar la fórmula cuadrática?
3. ¿Qué sucede con la trayectoria si el signo de la aceleración cambia?
4. ¿Cuál sería la velocidad de la pelota justo antes de tocar el suelo?
5. ¿Cómo se relaciona esta ecuación con las leyes del movimiento parabólico?

### Tip:
Para encontrar el vértice de una parábola, usa siempre la fórmula \( t_{\text{máx}} = \frac{-b}{2a} \), que te dará el punto donde se alcanza el valor máximo o mínimo.

Explore how to determine the maximum height and impact time of a ball thrown upwards using quadratic equations. This problem involves calculating the vertex of a parabola formed by the ball's trajectory, with detailed step-by-step solutions and formula applications. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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