Consideremos la recta y = - 5x+4.
Hallar la ecuación de la recta que es paralela a esta recta y atraviesa el punto (-6, -4).
Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a esta recta y atraviesa el punto (-6, -4).


Vamos a resolver los dos problemas propuestos usando la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

### Dada la recta:
\[ y = -5x + 4 \]

### 1. Ecuación de la recta paralela que pasa por el punto \((-6, -4)\):

Las rectas paralelas tienen la **misma pendiente**. La pendiente de la recta dada es \( m = -5 \).

Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Donde \((x_1, y_1)\) es el punto dado y \(m\) es la pendiente.

Sustituyendo los valores:
\[
y - (-4) = -5(x - (-6))
\]
\[
y + 4 = -5(x + 6)
\]
Distribuimos y simplificamos:
\[
y + 4 = -5x - 30
\]
Restamos 4 a ambos lados:
\[
y = -5x - 34
\]
Entonces, la **ecuación de la recta paralela** es:
\[ y = -5x - 34 \]

### 2. Ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto \((-6, -4)\):

Las rectas perpendiculares tienen pendientes que son **recíprocos negativos**. Dado que la pendiente de la recta original es \( m = -5 \), la pendiente de la recta perpendicular será:
\[
m_{\text{perpendicular}} = \frac{1}{5}
\]

Usamos nuevamente la forma punto-pendiente:
\[
y - (-4) = \frac{1}{5}(x - (-6))
\]
\[
y + 4 = \frac{1}{5}(x + 6)
\]
Distribuimos y simplificamos:
\[
y + 4 = \frac{1}{5}x + \frac{6}{5}
\]
Restamos 4 a ambos lados:
\[
y = \frac{1}{5}x + \frac{6}{5} - 4
\]
\[
y = \frac{1}{5}x - \frac{14}{5}
\]
Entonces, la **ecuación de la recta perpendicular** es:
\[ y = \frac{1}{5}x - \frac{14}{5} \]

### Resumen:
- **Ecuación de la recta paralela**: \( y = -5x - 34 \)
- **Ecuación de la recta perpendicular**: \( y = \frac{1}{5}x - \frac{14}{5} \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la pendiente de una recta a partir de su ecuación?
2. ¿Qué representa la pendiente en la gráfica de una recta?
3. ¿Cómo se verifica si dos rectas son perpendiculares?
4. ¿Cómo se puede expresar la ecuación de una recta en diferentes formas (punto-pendiente, pendiente-intersección, general)?
5. ¿Qué sucede con las coordenadas de un punto cuando la recta que lo atraviesa se traslada paralelamente?

### Consejo:
Recuerda que cuando trabajas con pendientes, la clave para identificar relaciones entre rectas (paralelismo y perpendicularidad) radica en comparar las pendientes. Si dos pendientes son iguales, las rectas son paralelas, y si una pendiente es el recíproco negativo de la otra, las rectas son perpendiculares.

Aprende cómo encontrar la ecuación de una recta paralela y perpendicular a otra recta dada, que pasa por un punto específico. Este problema cubre conceptos clave como la pendiente de una recta y utiliza la fórmula punto-pendiente para resolverlo. Adecuado para estudiantes de Grados 9-12.

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