Vamos a analizar el dominio y el rango de cada una de las funciones dadas: \( f(x) = \sqrt{x} \) y \( g(x) = x^2 - 1 \), así como de las funciones compuestas \( f(g(x)) \) y \( g(f(x)) \).

### 1. Función \( f(x) = \sqrt{x} \)
- **Dominio**: 
  \[
  x \geq 0
  \]
  La función raíz cuadrada solo está definida para valores no negativos. Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( [0, \infty) \).
  
- **Rango**:
  \[
  y \geq 0
  \]
  Dado que la raíz cuadrada de un número no negativo también es no negativa, el rango de \( f(x) \) es \( [0, \infty) \).

### 2. Función \( g(x) = x^2 - 1 \)
- **Dominio**:
  \[
  x \in \mathbb{R}
  \]
  La función \( g(x) = x^2 - 1 \) es un polinomio y, por lo tanto, está definida para todos los números reales. El dominio es \( (-\infty, \infty) \).
  
- **Rango**:
  \[
  y \geq -1
  \]
  La función cuadrática \( x^2 \) tiene un valor mínimo en \( x = 0 \), donde \( g(0) = 0^2 - 1 = -1 \). Como \( x^2 \) aumenta indefinidamente hacia valores positivos tanto para \( x \) positivo como negativo, el rango de \( g(x) \) es \( [-1, \infty) \).

### 3. Función compuesta \( f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \)
- **Dominio**:
  \[
  x^2 - 1 \geq 0
  \]
  Para que \( f(g(x)) \) esté definida, la expresión \( x^2 - 1 \) debe ser no negativa. Esto ocurre cuando:
  \[
  x^2 \geq 1 \implies |x| \geq 1
  \]
  Por lo tanto, el dominio de \( f(g(x)) \) es \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \).

- **Rango**:
  \[
  y \geq 0
  \]
  Como \( f(x) = \sqrt{x} \) solo produce valores no negativos y \( g(x) = x^2 - 1 \) es siempre mayor o igual a 0 para el dominio dado, el rango de \( f(g(x)) \) es \( [0, \infty) \).

### 4. Función compuesta \( g(f(x)) = x - 1 \)
- **Dominio**:
  \[
  x \geq 0
  \]
  La función \( f(x) = \sqrt{x} \) está definida solo para \( x \geq 0 \), por lo tanto, el dominio de \( g(f(x)) \) es \( [0, \infty) \).
  
- **Rango**:
  \[
  y \geq -1
  \]
  La expresión \( g(f(x)) = x - 1 \) decrece con \( x \geq 0 \). Su mínimo valor ocurre cuando \( x = 0 \), lo que da \( g(f(0)) = 0 - 1 = -1 \). A medida que \( x \) aumenta, \( g(f(x)) \) también aumenta. Por lo tanto, el rango de \( g(f(x)) \) es \( [-1, \infty) \).

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¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles sobre estas funciones? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías considerar:

1. ¿Qué sucede si combinamos \( g(x) \) y \( f(x) \) de otra manera?
2. ¿Cómo cambiaría el rango de \( f(g(x)) \) si modificamos \( g(x) \)?
3. ¿Podemos extender el dominio de \( f(x) \) para incluir valores negativos de alguna forma?
4. ¿Qué puntos específicos \( x \) son los más interesantes para \( f(g(x)) \)?
5. ¿Cómo podríamos representar gráficamente estas funciones y sus composiciones?

**Tip:** Al estudiar funciones compuestas, es clave analizar primero los dominios y rangos de las funciones individuales antes de evaluar la composición.

Aprende sobre el dominio y el rango de funciones como la raíz cuadrada y funciones cuadráticas, junto con funciones compuestas. Incluye ejemplos detallados de funciones como f(x) = √x y g(x) = x^2 - 1, así como sus composiciones f(g(x)) y g(f(x)). Adecuado para estudiantes de grados 11-12.

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