como calcular el dominio y rango de f(x)=√(3-x)/(2x-1)

Para calcular el **dominio** y el **rango** de la función \( f(x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{2x - 1} \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Dominio
El dominio de una función consiste en los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. Dado que esta función tiene una raíz cuadrada en el numerador y una fracción, debemos considerar dos restricciones:

#### a. La raíz cuadrada
La expresión dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero para que la función esté definida en los números reales. Es decir:
\[
3 - x \geq 0
\]
Resolviendo para \( x \):
\[
x \leq 3
\]
Esto significa que los valores de \( x \) deben ser menores o iguales a 3.

#### b. El denominador
El denominador de la fracción no puede ser igual a cero, ya que no podemos dividir por cero. Entonces, debemos asegurarnos de que:
\[
2x - 1 \neq 0
\]
Resolviendo para \( x \):
\[
x \neq \frac{1}{2}
\]
Esto significa que \( x = \frac{1}{2} \) está excluido del dominio, ya que haría que el denominador sea cero.

#### Dominio final
El dominio de la función es entonces el intervalo en el que \( x \leq 3 \), excepto \( x = \frac{1}{2} \). Es decir:
\[
\text{Dominio} = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 3]
\]

### 2. Rango
Para determinar el rango, analizamos los posibles valores que puede tomar la función.

- El numerador \( \sqrt{3 - x} \) siempre es mayor o igual a cero, ya que una raíz cuadrada no puede ser negativa. Así que el numerador toma valores en el intervalo \( [0, \sqrt{3}] \).
- El denominador \( 2x - 1 \) puede ser tanto positivo como negativo, dependiendo del valor de \( x \). Esto puede causar que la función \( f(x) \) tome tanto valores positivos como negativos.

Dado que el denominador puede cambiar de signo (dependiendo si \( x > \frac{1}{2} \) o \( x < \frac{1}{2} \)), y el numerador puede ser cualquier valor entre \( 0 \) y \( \sqrt{3} \), el rango de la función será todos los números reales excepto \( 0 \), ya que la función nunca puede ser igual a cero (debido a la exclusión del denominador cuando \( x = \frac{1}{2} \)).

#### Rango final
El rango de la función es:
\[
\text{Rango} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
\]

### Resumen:
- **Dominio**: \( (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 3] \)
- **Rango**: \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el dominio de una función racional con raíces cuadradas?
2. ¿Qué sucede si una función tiene una raíz cuadrada en el denominador?
3. ¿Cómo afecta una fracción en el denominador al rango de una función?
4. ¿Cuándo una función puede tener un dominio restringido?
5. ¿Qué técnicas se pueden usar para determinar el rango de funciones más complejas?

#### Tip:
Recuerda que la raíz cuadrada solo está definida para valores mayores o iguales a cero, lo que impone restricciones al dominio.

Aprende a calcular el dominio y el rango de la función f(x) = √(3-x)/(2x-1) con una solución detallada paso a paso. Este problema cubre conceptos algebraicos clave como raíces cuadradas y funciones racionales. Apto para estudiantes de los grados 10-12.

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