de acuerdo con el tema: la Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. 
resuelve el siguiente problema:
1.	Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media de 11.5 puntos. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad, se tomó una muestra de 30 alumnos que ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11	9	12	17	8	11	9	4	5	9	14	9	17	24	19
10	17	17	8	23	8	6	14	16	6	7	15	20	14	15

A un nivel de confianza de 95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo? Realiza el planteamiento de la prueba de hipótesis y pruébala estadísticamente.

nota: no olvides darme todos los cálculos del desarrollo del problema.

Para resolver este problema y determinar si el programa de estimulación de la creatividad ha sido efectivo, seguimos el siguiente enfoque basado en pruebas de hipótesis.

### 1. Planteamiento de la hipótesis

**Hipótesis nula (\(H_0\))**: La media de las puntuaciones de creatividad en el centro escolar no es diferente a la media de la población general, es decir, el programa no es efectivo.
\[
H_0: \mu = 11.5
\]

**Hipótesis alternativa (\(H_a\))**: La media de las puntuaciones de creatividad en el centro escolar es diferente a la media de la población general, es decir, el programa es efectivo.
\[
H_a: \mu \neq 11.5
\]

### 2. Nivel de significancia

Se utiliza un nivel de confianza del 95%, lo que implica un nivel de significancia (\(\alpha\)) del 5% o 0.05.

### 3. Cálculo de la media muestral y la desviación estándar muestral

Primero, calculemos la media muestral (\(\bar{x}\)) y la desviación estándar muestral (\(s\)) de las puntuaciones proporcionadas.

#### Datos:

Las puntuaciones son:  
\( 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15 \)

Hay un total de \(n = 30\) puntuaciones.

#### Cálculos:

\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]

\[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
\]

Voy a calcular \(\bar{x}\) y \(s\).La media muestral (\(\bar{x}\)) es de 12.47 puntos (aproximadamente) y la desviación estándar muestral (\(s\)) es de 5.31 puntos (aproximadamente).

### 4. Cálculo del estadístico de prueba

Usaremos una prueba t de Student, dado que el tamaño de la muestra es relativamente pequeño (n < 30) y no conocemos la desviación estándar de la población.

El estadístico de prueba \(t\) se calcula con la siguiente fórmula:

\[
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
\]

Donde:
- \(\bar{x}\) es la media muestral,
- \(\mu_0\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula (\(11.5\) puntos),
- \(s\) es la desviación estándar muestral,
- \(n\) es el tamaño de la muestra.

Vamos a calcular \(t\).El estadístico de prueba \( t \) calculado es de aproximadamente 0.997.

### 5. Determinación del valor crítico y la región de rechazo

Para un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)) en una prueba de dos colas, necesitamos buscar los valores críticos de \( t \) en una distribución t de Student con \( n - 1 = 29 \) grados de libertad.

Vamos a determinar el valor crítico para \(\alpha/2 = 0.025\) en cada cola.El valor crítico de \( t \) para \( \alpha/2 = 0.025 \) en una prueba de dos colas con 29 grados de libertad es aproximadamente 2.045.

### 6. Conclusión de la prueba de hipótesis

Comparando el estadístico de prueba \( t = 0.997 \) con el valor crítico \( t_{crítico} = 2.045 \):

- **Regla de decisión**: Si \(|t| > t_{crítico}\), rechazamos la hipótesis nula \(H_0\).
- En este caso, \(|0.997| < 2.045\), por lo tanto, **no rechazamos \(H_0\)**.

### 7. Conclusión

Con un nivel de confianza del 95%, **no** hay suficiente evidencia para afirmar que el programa de estimulación de la creatividad ha tenido un efecto significativo en las puntuaciones de creatividad de los estudiantes.

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? A continuación, te dejo 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el tamaño de la muestra adecuado para una prueba de hipótesis?
2. ¿Cuál es la diferencia entre un intervalo de confianza y una prueba de hipótesis?
3. ¿Qué es una prueba de una cola versus una prueba de dos colas?
4. ¿Cómo se afecta la decisión de la prueba si se cambia el nivel de significancia?
5. ¿Qué implicaciones tiene un error Tipo I o Tipo II en pruebas de hipótesis?

**Tip:** Al realizar pruebas de hipótesis, siempre es importante considerar el tamaño de la muestra y la variabilidad de los datos para interpretar correctamente los resultados.

Aprende cómo determinar la efectividad de un programa de estimulación de la creatividad utilizando pruebas de hipótesis. Calculamos la media muestral, la desviación estándar muestral y el estadístico de prueba t para determinar si hay evidencia suficiente para afirmar que el programa es efectivo. Nivel de confianza del 95% aplicado a una muestra de 30 estudiantes.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation