de acuerdo al tema matemático: Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, resuelve y desarrolla todos los cálculos del siguiente problema:

Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media de 11.5 puntos. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad, se tomó una muestra de 30 alumnos que ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11 9 12 17 8 11 9 4 5 9 14 9 17 24 19
10 17 17 8 23 8 6 14 16 6 7 15 20 14 15
A un nivel de confianza de 95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo? Realiza el planteamiento de la prueba de hipótesis y pruébala estadísticamente.

Para resolver este problema de inferencia estadística, debemos realizar una prueba de hipótesis para determinar si el programa de estimulación de la creatividad ha tenido un efecto significativo en las puntuaciones de los estudiantes. La media de la población general es 11.5 puntos, y queremos verificar si la media de la muestra de 30 estudiantes es significativamente diferente a esta media.

### Planteamiento de la Prueba de Hipótesis

1. **Hipótesis Nula (H₀):**  
   La media de la población después del programa sigue siendo 11.5 puntos.  
   \( H_0: \mu = 11.5 \)

2. **Hipótesis Alternativa (H₁):**  
   La media de la población después del programa es diferente de 11.5 puntos.  
   \( H_1: \mu \neq 11.5 \)

3. **Nivel de significancia (α):**  
   Se utiliza un nivel de confianza del 95%, lo que implica un nivel de significancia de \( \alpha = 0.05 \).

4. **Tipo de Prueba:**  
   Como no se especifica si el programa aumenta o disminuye la creatividad, utilizaremos una prueba de dos colas.

### Cálculos

Para realizar la prueba de hipótesis, calcularemos los siguientes valores:

- Media muestral (\( \bar{x} \))
- Desviación estándar muestral (s)
- Error estándar de la media (SEM)
- Estadístico de prueba (t)
- Valor crítico de t (t crítico)

#### Paso 1: Calcular la Media Muestral (\( \bar{x} \))

La media muestral se calcula como:

\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]

donde \( x_i \) son las puntuaciones individuales y \( n = 30 \).

#### Paso 2: Calcular la Desviación Estándar Muestral (s)

La desviación estándar muestral se calcula como:

\[
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}
\]

#### Paso 3: Calcular el Error Estándar de la Media (SEM)

El error estándar de la media es:

\[
\text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}}
\]

#### Paso 4: Calcular el Estadístico de Prueba (t)

El estadístico de prueba t se calcula como:

\[
t = \frac{\bar{x} - \mu}{\text{SEM}}
\]

donde \( \mu = 11.5 \) es la media de la población.

#### Paso 5: Determinar el Valor Crítico de t

El valor crítico de t para un nivel de significancia del 95% y 29 grados de libertad (n-1) se puede encontrar en una tabla de distribución t de Student.

Vamos a realizar los cálculos paso a paso.Aquí están los resultados de los cálculos necesarios para la prueba de hipótesis:

1. **Media muestral (\( \bar{x} \))**:  
   \[
   \bar{x} = 12.47
   \]

2. **Desviación estándar muestral (s)**:  
   \[
   s = 5.31
   \]

3. **Error estándar de la media (SEM)**:  
   \[
   \text{SEM} = 0.97
   \]

4. **Estadístico de prueba (t)**:  
   \[
   t = 0.997
   \]

5. **Valor crítico de t** (para \( \alpha = 0.05 \) y 29 grados de libertad, dos colas):  
   \[
   t_{\text{crítico}} = 2.045
   \]

6. **p-valor**:  
   \[
   p \text{-valor} = 0.327
   \]

### Interpretación de Resultados

- Dado que el valor absoluto del estadístico t (\(0.997\)) es menor que el valor crítico de t (\(2.045\)), no podemos rechazar la hipótesis nula \(H_0\). 
- Además, el p-valor (\(0.327\)) es mayor que el nivel de significancia (\( \alpha = 0.05 \)), lo que refuerza la conclusión de que no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

### Conclusión

A un nivel de confianza del 95%, no podemos afirmar que el programa de estimulación de la creatividad haya tenido un efecto significativo en las puntuaciones de los estudiantes.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se interpretaría un resultado con un p-valor más bajo?
2. ¿Qué cambios se podrían hacer en la prueba para aumentar la potencia estadística?
3. ¿Cómo afectaría un tamaño de muestra mayor a los resultados?
4. ¿Qué otros métodos existen para evaluar la efectividad del programa?
5. ¿Qué es el intervalo de confianza para la media muestral y cómo se calcula?

#### Tip: Para pruebas de hipótesis, es importante conocer el tamaño del efecto y no solo la significancia estadística.

Resuelve un problema de inferencia estadística sobre la efectividad de un programa de estimulación de la creatividad. A un nivel de confianza del 95%, se evalúa si las puntuaciones de una muestra de estudiantes son significativamente diferentes a la media poblacional de 11.5 puntos. Calcula la media muestral, el error estándar de la media, y el estadístico t para llegar a una conclusión basada en pruebas de hipótesis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation