1.	Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media de 11.5 puntos. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad, se tomó una muestra de 30 alumnos que ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11	9	12	17	8	11	9	4	5	9	14	9	17	24	19
10	17	17	8	23	8	6	14	16	6	7	15	20	14	15
A un nivel de confianza de 95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo? Realiza el planteamiento de la prueba de hipótesis y pruébala estadísticamente.


Para determinar si el programa de estimulación de la creatividad es efectivo, podemos realizar una prueba de hipótesis basada en la media de las puntuaciones de creatividad de los estudiantes del centro escolar comparada con la media de la población general. Usaremos un nivel de confianza del 95%.

### 1. **Formulación de la Hipótesis:**

- **Hipótesis nula (\(H_0\))**: La media de las puntuaciones de los estudiantes que participaron en el programa no es mayor que la media de la población general. Matemáticamente:
  \[
  H_0: \mu \leq 11.5
  \]

- **Hipótesis alternativa (\(H_1\))**: La media de las puntuaciones de los estudiantes que participaron en el programa es mayor que la media de la población general. Matemáticamente:
  \[
  H_1: \mu > 11.5
  \]

### 2. **Nivel de Significancia:**

- Dado un nivel de confianza del 95%, el nivel de significancia (\(\alpha\)) es:
  \[
  \alpha = 1 - 0.95 = 0.05
  \]

### 3. **Cálculo de la Media y Desviación Estándar Muestral:**

Primero, necesitamos calcular la media muestral (\(\bar{X}\)) y la desviación estándar muestral (\(s\)) para las puntuaciones dadas.

### 4. **Estadístico de Prueba:**

Usaremos la prueba t de Student para una muestra, ya que la desviación estándar de la población no es conocida y el tamaño de la muestra es relativamente pequeño (n < 30).

El estadístico t se calcula como:
\[
t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
\]
donde:
- \(\bar{X}\) es la media muestral.
- \(\mu_0 = 11.5\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula.
- \(s\) es la desviación estándar muestral.
- \(n = 30\) es el tamaño de la muestra.

### 5. **Determinación del Valor Crítico:**

Para un nivel de significancia de 0.05 y \(n-1 = 29\) grados de libertad, se busca el valor crítico de t en la tabla de distribución t de Student.

### 6. **Conclusión:**

Comparar el valor calculado de t con el valor crítico. Si el valor calculado es mayor que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa.

Ahora, procederé a calcular la media muestral, la desviación estándar y el valor t correspondiente.### Resultados del Análisis:

- **Media muestral (\(\bar{X}\))**: 12.47
- **Desviación estándar muestral (\(s\))**: 5.31
- **Estadístico t calculado**: 0.997
- **Valor crítico de t (para \(\alpha = 0.05\) y 29 grados de libertad)**: 1.699

### Conclusión:

El valor calculado de t (0.997) es menor que el valor crítico de t (1.699). Esto significa que **no hay suficiente evidencia** para rechazar la hipótesis nula \(H_0\) al nivel de significancia del 5%.

**Interpretación:** No podemos afirmar con un 95% de confianza que el programa de estimulación de la creatividad ha sido efectivo para aumentar significativamente las puntuaciones de creatividad en comparación con la media poblacional de 11.5.

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre algún paso?

Aquí hay algunas preguntas adicionales para seguir explorando el tema:

1. ¿Qué efecto tendría un tamaño de muestra más grande en el resultado de la prueba?
2. ¿Cómo afectaría un cambio en el nivel de confianza (por ejemplo, al 99%) a los resultados?
3. ¿Por qué es importante usar la desviación estándar muestral en lugar de la poblacional en este contexto?
4. ¿Cómo podríamos modificar el diseño del experimento para obtener resultados más concluyentes?
5. ¿Qué diferencia habría si la hipótesis alternativa fuera de dos colas en lugar de una cola?

**Tip:** Cuando la muestra es pequeña, la prueba t es preferible sobre la prueba z, ya que toma en cuenta la variabilidad adicional introducida por el tamaño muestral limitado.

Explore a hypothesis testing example to determine the effectiveness of a creativity stimulation program. Analyze sample data against population norms using the t-test formula and 95% confidence level. Results indicate insights into program efficacy.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation