de acuerdo al tema matemático: Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, resuelve y desarrolla todos los cálculos del siguiente problema:

2.	Se somete a prueba a todos los integrantes del magisterio de enseñanza básica (primaria) de un país. Un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100, fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estándar de 16. Comprueba dicha afirmación con una prueba de hipótesis y un nivel de significancia del 1%.

Para resolver este problema, seguiremos un enfoque de prueba de hipótesis, utilizando la información proporcionada sobre la muestra de maestros y el nivel de significancia del 1%.

### 1. **Planteamiento del problema**

- **Población**: Todos los maestros de enseñanza básica en el país.
- **Media poblacional (\(\mu_0\))**: 76 (según el experto en educación).
- **Muestra**: 400 maestros.
  - **Media muestral (\(\bar{x}\))**: 74
  - **Desviación estándar muestral (\(s\))**: 16

### 2. **Hipótesis**

Planteamos las hipótesis para comprobar la afirmación del experto:

- **Hipótesis nula (\(H_0\))**: La media de la calificación de todos los maestros es 76, es decir, la afirmación del experto es correcta.
  \[
  H_0: \mu = 76
  \]

- **Hipótesis alternativa (\(H_a\))**: La media de la calificación de todos los maestros es diferente de 76, es decir, la afirmación del experto no es correcta.
  \[
  H_a: \mu \neq 76
  \]

### 3. **Prueba de Hipótesis**

Dado que el tamaño de la muestra es grande (\(n = 400\)), podemos usar una **prueba Z** en lugar de una prueba t.

La estadística Z se calcula con la siguiente fórmula:

\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
\]

donde:
- \(\bar{x} = 74\) es la media muestral,
- \(\mu_0 = 76\) es la media poblacional bajo \(H_0\),
- \(s = 16\) es la desviación estándar muestral,
- \(n = 400\) es el tamaño de la muestra.

### 4. **Nivel de significancia y valor crítico**

El nivel de significancia es del 1% (\(\alpha = 0.01\)).

Para una prueba de dos colas, dividimos el nivel de significancia entre dos para encontrar los valores críticos en ambos extremos de la distribución normal:

\[
\alpha/2 = 0.005
\]

Buscamos el valor crítico de Z correspondiente a un 99% de confianza (o \(0.5\% = 0.005\) en cada cola).

### 5. **Cálculos**

Vamos a calcular la estadística Z y los valores críticos ahora.### 6. **Resultados y Conclusión**

- **Estadística Z calculada**: \( Z = -2.5 \)
- **Valor crítico de Z**: \( Z_{\text{crítico}} = \pm 2.576 \) (para un nivel de significancia del 1% y prueba de dos colas)

### **Decisión**
Dado que \( Z = -2.5 \) está dentro del intervalo \( -2.576 < Z < 2.576 \), **no podemos rechazar la hipótesis nula \( H_0 \)**.

### **Conclusión**
Con un nivel de significancia del 1%, no hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación del experto en educación de que el promedio de las calificaciones es 76. Esto significa que las diferencias observadas en la media muestral podrían ser atribuibles al azar, y la afirmación del experto no se puede descartar.

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¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Qué cambios ocurrirían si el nivel de significancia fuera diferente?
2. ¿Cómo se verían los resultados con una muestra más pequeña?
3. ¿Cómo afecta la desviación estándar a la prueba de hipótesis?
4. ¿Qué implicaciones tiene utilizar una prueba Z en lugar de una prueba t?
5. ¿Cómo se calcularía el intervalo de confianza en este contexto?

**Tip:** En pruebas de hipótesis, el tamaño de la muestra juega un papel crucial. Con muestras grandes, como en este caso, la prueba Z es más precisa y preferible.

Aprende cómo realizar una prueba de hipótesis estadística para verificar la afirmación sobre el promedio de calificaciones en el magisterio de enseñanza básica. Solución detallada con cálculos utilizando la estadística Z y un nivel de significancia del 1%. Ideal para estudiantes universitarios y profesionales en estadística.

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