de acuerdo al tema matematico: Inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, resuelve y desarrolla todos los cálculos del siguiente problema:

1.	Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media de 11.5 puntos. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad, se tomó una muestra de 30 alumnos que ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11	9	12	17	8	11	9	4	5	9	14	9	17	24	19
10	17	17	8	23	8	6	14	16	6	7	15	20	14	15
A un nivel de confianza de 95%, ¿puede afirmarse que el programa es efectivo? Realiza el planteamiento de la prueba de hipótesis y pruébala estadísticamente.


Para resolver este problema de inferencia estadística, se deben seguir los siguientes pasos:

### **1. Planteamiento de la Prueba de Hipótesis:**

**Hipótesis Nula (H₀):**  
El programa de estimulación de la creatividad no tiene efecto. Esto significa que la media de la creatividad en los estudiantes del centro es igual a la media de la población general.  
\( H_0: \mu = 11.5 \)

**Hipótesis Alternativa (H₁):**  
El programa de estimulación de la creatividad tiene un efecto positivo. Esto significa que la media de la creatividad en los estudiantes del centro es mayor que la media de la población general.  
\( H_1: \mu > 11.5 \)

### **2. Datos y Estadísticas Iniciales:**

Tenemos una muestra de 30 alumnos con las siguientes puntuaciones:

\[
11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8, 23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15
\]

#### **a. Calcular la media muestral (\(\bar{x}\)) y la desviación estándar muestral (s):**

La media muestral se calcula como:

\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]

La desviación estándar muestral se calcula como:

\[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
\]

Donde \( n = 30 \) es el tamaño de la muestra.

### **3. Nivel de Confianza y Valor Crítico:**

Dado un nivel de confianza del 95%, el nivel de significancia (\(\alpha\)) es:

\[
\alpha = 1 - 0.95 = 0.05
\]

Como es una prueba de una cola (cola derecha), utilizaremos el valor crítico \( t_{\alpha, n-1} \) de la distribución t de Student con \( n-1 = 29 \) grados de libertad.

### **4. Estadístico de Prueba:**

El estadístico de prueba \( t \) se calcula con la fórmula:

\[
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
\]

Donde:
- \(\mu_0\) es la media de la población general (11.5),
- \(\bar{x}\) es la media muestral,
- \(s\) es la desviación estándar muestral,
- \(n\) es el tamaño de la muestra.

### **5. Decisión y Conclusión:**

Comparar el valor calculado de \( t \) con el valor crítico \( t_{\alpha, n-1} \). Si \( t \) es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Vamos a realizar todos los cálculos detalladamente.

### **Cálculos:**

1. **Media Muestral (\(\bar{x}\)):**

\[
\bar{x} = \frac{11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8+23+8+6+14+16+6+7+15+20+14+15}{30}
\]

2. **Desviación Estándar Muestral (s):**

Primero, calcular la suma de las diferencias cuadradas respecto a la media muestral:

\[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
\]

3. **Valor Crítico \( t_{\alpha, n-1} \):**

Buscar en la tabla de t-Student para \( \alpha = 0.05 \) y \( n-1 = 29 \) grados de libertad.

4. **Estadístico de Prueba \( t \):**

\[
t = \frac{\bar{x} - 11.5}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
\]

### **Realización de los Cálculos:**

Voy a calcular estos valores paso a paso.### Resultados de los Cálculos:

1. **Media muestral (\(\bar{x}\)):**  
   \(\bar{x} = 12.47\) (aproximadamente).

2. **Desviación estándar muestral (s):**  
   \(s = 5.31\) (aproximadamente).

3. **Estadístico de prueba \( t \):**  
   \(t = 0.997\) (aproximadamente).

4. **Valor crítico \( t_{\alpha, n-1} \):**  
   \(t_{\text{crítico}} = 1.699\) para un nivel de significancia del 5% y 29 grados de libertad.

### **6. Decisión y Conclusión:**

Dado que el valor calculado de \( t \) (0.997) es menor que el valor crítico \( t_{\alpha, n-1} \) (1.699), **no se rechaza** la hipótesis nula \( H_0 \). 

### **Conclusión:**
A un nivel de confianza del 95%, no hay suficiente evidencia estadística para afirmar que el programa de estimulación de la creatividad es efectivo en aumentar las puntuaciones de creatividad por encima de la media de la población general.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay 5 preguntas relativas que podrías considerar:
1. ¿Cómo cambiarían los resultados si aumentamos el tamaño de la muestra?
2. ¿Qué sucedería si usamos un nivel de confianza del 99% en lugar del 95%?
3. ¿Cómo se interpreta la diferencia entre el valor crítico y el valor del estadístico t?
4. ¿Qué importancia tiene la normalidad de la distribución en este tipo de pruebas?
5. ¿Cómo se puede utilizar un intervalo de confianza en lugar de una prueba de hipótesis?

**Tip:** Al interpretar resultados de pruebas de hipótesis, es crucial recordar que "no rechazar la hipótesis nula" no significa que la hipótesis nula sea verdadera, sino que no hay suficiente evidencia para concluir lo contrario.

Resuelve y desarrolla todos los cálculos para determinar si un programa de estimulación de creatividad es efectivo. Aplicación de inferencia estadística, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis con una muestra de 30 alumnos y nivel de confianza del 95%.

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