O volume de um paralelepípedo é de 10m3, a sua base é o dobro da sua largura, o custo para da base é 2,0 reais por metro quadrado e o custo dos lados é 2,5 reais por metro quadrado, esse paralelepido não tem tampa, calcule a altura a largura e o custo de tudo (tem que usar derivada


Dado o problema do paralelepípedo sem tampa, precisamos encontrar a altura, a largura, e o custo total da superfície, usando derivadas. Vamos resolver o problema em etapas:

### Passos:

#### 1. Definições e equações principais:

- **Volume do paralelepípedo**: \( V = 10 \, \text{m}^3 \)
- **Área da base**: A base é o dobro da largura, ou seja, seja \( L \) a largura e \( C = 2L \) o comprimento.
- **Altura**: \( h \) é a altura do paralelepípedo.

A equação do volume é:

\[
V = L \cdot C \cdot h = 10
\]

Substituindo \( C = 2L \):

\[
V = L \cdot (2L) \cdot h = 2L^2 h = 10
\]

\[
h = \frac{10}{2L^2} = \frac{5}{L^2}
\]

#### 2. Função do custo:

Sabemos que:
- O custo da base é de 2,0 reais por metro quadrado.
- O custo dos lados é de 2,5 reais por metro quadrado.

A área da base é \( A_{\text{base}} = L \cdot C = L \cdot 2L = 2L^2 \).

A área dos lados (sem a tampa) consiste em:
- Duas faces laterais de área \( L \cdot h \)
- Duas faces laterais de área \( C \cdot h = 2L \cdot h \)

Portanto, a função do custo total \( C_{\text{total}} \) será dada por:

\[
C_{\text{total}} = 2 \cdot A_{\text{base}} + 2,5 \cdot \left( 2 \cdot L \cdot h + 2 \cdot (2L) \cdot h \right)
\]

Substituindo \( h = \frac{5}{L^2} \):

\[
C_{\text{total}} = 2 \cdot 2L^2 + 2,5 \cdot \left( 2 \cdot L \cdot \frac{5}{L^2} + 2 \cdot 2L \cdot \frac{5}{L^2} \right)
\]

Simplificando:

\[
C_{\text{total}} = 4L^2 + 2,5 \cdot \left( \frac{10}{L} + \frac{20}{L} \right)
\]

\[
C_{\text{total}} = 4L^2 + 2,5 \cdot \frac{30}{L}
\]

\[
C_{\text{total}} = 4L^2 + \frac{75}{L}
\]

#### 3. Minimização do custo (usando derivadas):

Agora, derivamos \( C_{\text{total}} \) em relação a \( L \) para encontrar o valor de \( L \) que minimiza o custo.

\[
\frac{dC_{\text{total}}}{dL} = 8L - \frac{75}{L^2}
\]

Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

\[
8L - \frac{75}{L^2} = 0
\]

Multiplicando ambos os lados por \( L^2 \):

\[
8L^3 = 75
\]

\[
L^3 = \frac{75}{8} = 9,375
\]

\[
L = \sqrt[3]{9,375} \approx 2,1 \, \text{m}
\]

#### 4. Cálculo da altura:

Agora que temos \( L \), podemos calcular a altura \( h \):

\[
h = \frac{5}{L^2} = \frac{5}{(2,1)^2} \approx 1,13 \, \text{m}
\]

#### 5. Cálculo do custo total:

Agora calculamos o custo total substituindo \( L \) na função \( C_{\text{total}} \):

\[
C_{\text{total}} = 4L^2 + \frac{75}{L}
\]

Substituindo \( L = 2,1 \):

\[
C_{\text{total}} = 4 \cdot (2,1)^2 + \frac{75}{2,1} \approx 4 \cdot 4,41 + 35,71 \approx 17,64 + 35,71 \approx 53,35 \, \text{reais}
\]

### Conclusão:

- A largura \( L \) é aproximadamente **2,1 metros**.
- A altura \( h \) é aproximadamente **1,13 metros**.
- O custo total é aproximadamente **53,35 reais**.

### Quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?

#### Perguntas relacionadas:
1. Como a derivada foi usada para encontrar o valor ótimo de \( L \)?
2. Como o custo total é afetado por mudanças na largura \( L \)?
3. O que aconteceria com o custo se a tampa fosse incluída?
4. Existe outra maneira de minimizar o custo sem usar derivadas?
5. Como podemos interpretar geometricamente o ponto crítico da função de custo?

#### Dica: 
Ao minimizar uma função de custo, a derivada te ajuda a identificar os pontos onde a função atinge seus extremos (mínimo ou máximo).

O volume de um paralelepípedo é de 10m³, a sua base é o dobro da sua largura, o custo para a base é 2,0 reais por metro quadrado e o custo dos lados é 2,5 reais por metro quadrado. Esse paralelepípedo não tem tampa. Calcule a altura, a largura e o custo de tudo (tem que usar derivada).

Learn how to calculate the optimal dimensions and cost for a parallelepiped with a given volume of 10m³. Using derivative-based optimization, this problem explores key concepts in calculus, including cost minimization and geometric properties. Suitable for advanced high school and college students.

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