Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta (em cima) deve ter um volume de 10m3
O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10,00 por metro quadrado e o material para os lados custa R$6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres.

Temos um problema de otimização com restrições geométricas e custos de materiais. Vamos resolver isso passo a passo.

### Definindo as variáveis:
- Seja $ x $ a largura da base do contêiner (em metros).
- O comprimento da base é o dobro da largura, então o comprimento é $ 2x $ metros.
- Seja $ h $ a altura do contêiner (em metros).

O volume do contêiner é dado por:
\[
V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura}
\]
Como o volume é 10 m³, temos:
\[
V = 2x \times x \times h = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x^2h = 10 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{5}{x^2}
\]

### Áreas das superfícies:
- A área da base é $ A_{\text{base}} = 2x \times x = 2x^2 $.
- As laterais são compostas por:
  - Duas laterais de altura $ h $ e largura $ x $, com área total $ A_{\text{laterais1}} = 2xh $.
  - Duas laterais de altura $ h $ e comprimento $ 2x $, com área total $ A_{\text{laterais2}} = 2 \times 2xh = 4xh $.

Assim, a área total das laterais é:
\[
A_{\text{laterais}} = A_{\text{laterais1}} + A_{\text{laterais2}} = 2xh + 4xh = 6xh
\]

### Custo dos materiais:
- O custo da base é $ C_{\text{base}} = 10 \times A_{\text{base}} = 10 \times 2x^2 = 20x^2 $ reais.
- O custo das laterais é $ C_{\text{laterais}} = 6 \times A_{\text{laterais}} = 6 \times 6xh = 36xh $ reais.

Substituímos $ h = \frac{5}{x^2} $ para expressar tudo em função de $ x $:
\[
C_{\text{laterais}} = 36x \times \frac{5}{x^2} = \frac{180}{x}
\]

### Custo total:
O custo total é a soma do custo da base e das laterais:
\[
C(x) = 20x^2 + \frac{180}{x}
\]

### Minimização do custo:
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo, derivamos $ C(x) $ em relação a $ x $ e igualamos a zero:
\[
C'(x) = 40x - \frac{180}{x^2}
\]
Igualando a zero:
\[
40x - \frac{180}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 40x^3 = 180 \quad \Rightarrow \quad x^3 = \frac{180}{40} = 4.5
\]
\[
x = \sqrt[3]{4.5} \approx 1.65 \, \text{m}
\]

### Altura $ h $:
Substituímos $ x \approx 1.65 $ na expressão para $ h $:
\[
h = \frac{5}{x^2} = \frac{5}{(1.65)^2} \approx 1.84 \, \text{m}
\]

### Cálculo do custo mínimo:
Agora calculamos o custo mínimo substituindo $ x $ em $ C(x) $:
\[
C(1.65) = 20(1.65)^2 + \frac{180}{1.65} \approx 20(2.72) + 109.09 \approx 54.4 + 109.09 = 163.49 \, \text{reais}
\]

Portanto, o custo mínimo dos materiais é aproximadamente **R$163,49**.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas relacionadas:
1. Como se encontra o ponto de mínimo de uma função usando derivadas?
2. Por que utilizamos a fórmula do volume para encontrar a relação entre as dimensões?
3. Como os custos variam conforme as dimensões do contêiner mudam?
4. Quais são os métodos alternativos para resolver problemas de otimização?
5. O que aconteceria com o custo se a forma do contêiner fosse diferente?

### Dica:
Em problemas de otimização com restrições, é essencial primeiro expressar todas as variáveis em função de uma única variável para facilitar o cálculo do mínimo ou máximo.

Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta (em cima) deve ter um volume de 10m3. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10,00 por metro quadrado e o material para os lados custa R$6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres.

Learn how to optimize the design of a rectangular storage container with an open top and a fixed volume of 10 m³. The problem involves finding the dimensions that minimize material costs, using geometric concepts and derivative-based optimization. Ideal for students studying pre-calculus or calculus.

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