Un entusiasta de la jardinería tiene $200 para gastar en la compra de plantas para su jardín. Está interesado en dos tipos de plantas: arbustos decorativos (X) que cuestan $25 cada uno y flores exóticas (Y) que cuestan $10 cada una.

¿Cuántos arbustos y cuántas flores debe comprar para maximizar su utilidad, dado su presupuesto de $200 y la función de utilidad? Nota: redondear al inmediato superior.

U(x,y)=x1/4y3/4

Para resolver este problema de maximización de utilidad sujeto a una restricción presupuestaria, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Plantear la función de utilidad
La función de utilidad dada es:

\[ U(x, y) = x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{3}{4}} \]

donde $ x $ es la cantidad de arbustos decorativos y $ y $ es la cantidad de flores exóticas.

### Paso 2: Plantear la restricción presupuestaria
El presupuesto total es de $200, y cada arbusto decorativo cuesta $25, mientras que cada flor exótica cuesta $10. Esto nos da la siguiente restricción presupuestaria:

\[ 25x + 10y = 200 \]

### Paso 3: Maximizar la función de utilidad
Para maximizar la utilidad, utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange. La función de Lagrange es:

\[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{3}{4}} + \lambda (200 - 25x - 10y) \]

### Paso 4: Derivar las ecuaciones
Derivamos la función de Lagrange con respecto a $ x $, $ y $ y $ \lambda $ y las igualamos a cero:

1. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{3}{4}} - 25\lambda = 0$
2. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}} - 10\lambda = 0$
3. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 200 - 25x - 10y = 0$

### Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones
Resolvamos este sistema de ecuaciones.

Primero, de la primera y segunda ecuación, dividimos una por otra para eliminar $ \lambda $:

\[
\frac{\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}} = \frac{25}{10}
\]

Simplificando:

\[
\frac{y}{3x} = \frac{5}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
y = \frac{15}{2}x = 7.5x
\]

Sustituimos $ y = 7.5x $ en la restricción presupuestaria:

\[
25x + 10(7.5x) = 200
\]

\[
25x + 75x = 200
\]

\[
100x = 200
\]

\[
x = 2
\]

Luego, sustituimos $ x = 2 $ en $ y = 7.5x $:

\[
y = 7.5(2) = 15
\]

### Paso 6: Redondear los resultados
Ya que debemos redondear al inmediato superior, los valores resultantes no necesitan redondeo adicional.

### Respuesta Final
El entusiasta de la jardinería debe comprar **2 arbustos decorativos** y **15 flores exóticas** para maximizar su utilidad dado su presupuesto de $200.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas
1. ¿Cómo cambiaría la solución si el precio de las flores exóticas fuera $15 en lugar de $10?
2. ¿Cómo se ajustaría la solución si el presupuesto aumentara a $300?
3. ¿Qué pasaría si la función de utilidad fuera $ U(x, y) = x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} $?
4. ¿Cuál sería la combinación óptima si se redujera el precio de los arbustos a $20?
5. ¿Cómo se afectaría la solución si la función de utilidad fuera $ U(x, y) = x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} $?

### Consejo
Al resolver problemas de maximización con restricción presupuestaria, es útil emplear el método de Lagrange para encontrar la combinación óptima de bienes que maximiza la utilidad dentro de los límites del presupuesto.

Learn how to maximize utility with a budget of $200 for a gardening enthusiast. Solve the optimization problem using Lagrange multipliers and understand the utility function U(x, y) = x^(1/4) * y^(3/4).

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