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cual es la respuesta correcta entre las siguientes opciones de este ejercicio de programación lineal

El ejercicio en la imagen trata de un problema de maximización con restricciones, donde un consumidor con ingreso fijo \( I \) consume dos bienes \( q_1 \) y \( q_2 \). El objetivo es maximizar una función de utilidad logarítmica \( u(q_1, q_2) = \ln q_1 + \ln q_2 \) bajo una restricción presupuestaria determinada por el ingreso \( I \).

A continuación, desglosaré los puntos del problema:

1. **Restricción presupuestaria**: El consumidor gasta todo su ingreso en los bienes, por lo que la restricción está dada por:

   \[
   p_1 q_1 + p_2 q_2 = I
   \]

   Donde \( p_1 \) y \( p_2 \) son los precios de los bienes \( q_1 \) y \( q_2 \), respectivamente.

2. **Función de utilidad**: La función a maximizar es \( u(q_1, q_2) = \ln q_1 + \ln q_2 \), que representa la satisfacción del consumidor.

3. **Solución del problema**:
   - Se utiliza el método de **Lagrange** para maximizar la función de utilidad con la restricción presupuestaria. El problema de maximización se resuelve obteniendo las cantidades óptimas \( q_1^* \) y \( q_2^* \), tal como se muestra en el apartado b de la imagen:
   
     \[
     q_1^* = \frac{I}{2p_1}, \quad q_2^* = \frac{I}{2p_2}
     \]

4. **Valor máximo de la función de utilidad**:
   - La función de utilidad máxima resultante es:
   
     \[
     V(I) = \ln \left( \frac{I^2}{4p_1 p_2} \right)
     \]

5. **Solución en términos de proporciones**:
   - La solución que incluye la expresión final en la parte d es:

     \[
     q_1^* + q_2^* = \left( \frac{I}{2} \right)^{\frac{2}{3}}
     \]

Para encontrar la respuesta correcta entre las opciones, primero es necesario revisar con precisión las alternativas presentadas. Si puedes proporcionar las opciones específicas, puedo ayudarte a determinar cuál es la correcta. 

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### 5 Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se utiliza el método de Lagrange para resolver este tipo de problemas de maximización?
2. ¿Qué implica que la función de utilidad sea concava o estrictamente creciente?
3. ¿Cuál es el impacto de los precios \( p_1 \) y \( p_2 \) en las cantidades óptimas \( q_1^* \) y \( q_2^* \)?
4. ¿Cómo se interpretan las soluciones encontradas para \( q_1^* \) y \( q_2^* \) en términos económicos?
5. ¿Qué pasa si el ingreso del consumidor \( I \) cambia? ¿Cómo afecta a la función de utilidad?

### Tip:
Para resolver problemas de maximización con restricciones, dominar el uso de los multiplicadores de Lagrange es clave para encontrar soluciones óptimas.

Un consumidor con un ingreso fijo I consume dos bienes (q1 y q2). Si el adquiere q_i unidades del bien (i=1,2), el precio que paga es p_i(q_i), donde p_i(q_i) es una función estrictamente creciente. La función de utilidad del consumidor está dada por u(q1, q2) = ln(q1) + ln(q2). Se pide resolver el problema de maximización con las condiciones y fórmulas dadas.

This utility maximization problem involves a consumer with a fixed income (I) who consumes two goods (q1 and q2). The goal is to maximize a logarithmic utility function under a budget constraint, using Lagrange multipliers to find the optimal quantities and maximum utility.

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