giải giúp tôi bài toán sau:
Thảo có thu nhập hàng tháng là 5 triệu đồng và cô ta có thể sử dụng toàn bộ số thu nhập này cho 2 mục đích: đóng góp từ thiện (X) và tiêu dùng các hàng hóa khác (Y). Đơn giá của X là Px = 1000 đồng và đơn giá của Y là Py = 2000 đồng. Hàm hữu dụng của Thảo là U = X1/3Y2/3. 
1. Tìm điểm tiêu dùng tối ưu của Thảo và biểu diễn trên đồ thị. Có phải tại điểm tiêu dùng tối ưu mọi người đều sẵn sàng đóng góp từ thiện không?

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm tiêu dùng tối ưu của Thảo, tức là giá trị của \( X \) và \( Y \) mà tối đa hóa hàm hữu dụng của cô ấy \( U = X^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}} \) dưới ràng buộc ngân sách. Sau đó, chúng ta sẽ biểu diễn kết quả này trên đồ thị.

### Bước 1: Xác định ràng buộc ngân sách
Tổng thu nhập của Thảo là 5 triệu đồng, và cô ta sử dụng toàn bộ số tiền này để chi tiêu cho hai mục đích:

\[
5.000.000 = P_x X + P_y Y
\]

Thay giá trị của \( P_x = 1.000 \) và \( P_y = 2.000 \) vào phương trình:

\[
5.000.000 = 1.000X + 2.000Y
\]

Rút gọn phương trình trên:

\[
5.000 = X + 2Y
\]

### Bước 2: Thiết lập bài toán tối đa hóa
Ta cần tối đa hóa hàm hữu dụng \( U = X^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}} \) dưới ràng buộc ngân sách \( 5.000 = X + 2Y \).

Sử dụng phương pháp Lagrange, ta thiết lập hàm Lagrange:

\[
\mathcal{L}(X, Y, \lambda) = X^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}} + \lambda (5.000 - X - 2Y)
\]

### Bước 3: Tìm điều kiện tối ưu
Để tìm giá trị \( X \) và \( Y \) tối ưu, ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình sau:

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = \frac{1}{3} X^{-\frac{2}{3}} Y^{\frac{2}{3}} - \lambda = 0
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} = \frac{2}{3} X^{\frac{1}{3}} Y^{-\frac{1}{3}} - 2\lambda = 0
\]

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 5.000 - X - 2Y = 0
\]

Từ hai phương trình đầu, ta có thể lấy tỷ lệ của chúng để loại bỏ \( \lambda \):

\[
\frac{\frac{1}{3} X^{-\frac{2}{3}} Y^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3} X^{\frac{1}{3}} Y^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}
\]

Sau khi rút gọn:

\[
\frac{Y}{X} = 2
\]

### Bước 4: Tìm giá trị \( X \) và \( Y \)
Thay tỷ lệ \( Y = 2X \) vào ràng buộc ngân sách:

\[
5.000 = X + 2(2X)
\]

\[
5.000 = 5X
\]

\[
X = 1.000
\]

Sau đó, thay \( X = 1.000 \) vào tỷ lệ \( Y = 2X \):

\[
Y = 2(1.000) = 2.000
\]

### Bước 5: Biểu diễn trên đồ thị
Điểm tiêu dùng tối ưu của Thảo là \( X = 1.000 \) và \( Y = 2.000 \). Trên đồ thị, điểm này sẽ là giao điểm của đường cong ngân sách và đường cong bàng quan (indifference curve) tương ứng.

### Câu hỏi bổ sung:
1. Điều gì xảy ra nếu đơn giá của X và Y thay đổi?
2. Nếu thu nhập của Thảo tăng lên, điểm tiêu dùng tối ưu sẽ thay đổi như thế nào?
3. Tại sao Thảo chọn chi tiêu như vậy cho từ thiện và hàng hóa khác?
4. Nếu Thảo muốn đóng góp từ thiện nhiều hơn, cô ấy sẽ phải làm gì?
5. Hàm hữu dụng này có phải là một hàm Cobb-Douglas không? Nếu có, nó có đặc điểm gì?

**Mẹo:** Khi giải các bài toán tối ưu hóa, luôn đảm bảo bạn hiểu rõ các ràng buộc ngân sách và hàm mục tiêu trước khi sử dụng các phương pháp như Lagrange.

Explore how to find Thảo's optimal consumption point by maximizing the utility function U = X^(1/3) * Y^(2/3) under budget constraints. Includes step-by-step solution, graphical representation, and insights into consumer choice theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation